3 3 Axonometrikus brzolsok Rvid ttekints Prhuzamos vettsek

3. 3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés

Párhuzamos vetítések, axonometriák • Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál. . . • Affin transzformációval • A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt • 4 „független” pont és képe meghatározza

Emlékeztető • Műszaki rajzoknál: egyezményes ábrázolási módok: - könnyen szerkeszthető - a szakemberek által megszokott, - könnyen értelmezhető - méretek és arányok jól „leolvashatók” • Műszaki rajzolónak szerkesztési szabályok - a számítógéphez számítási eljárások

Ami a módszerekben közös • Kiindulás: TKR; a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai • Előtte: VKR TKR: P’ = (T B) P mozgás; méret- és alaktartó • A vetület előállítása: 1. P’ = M P; 3 D, ; olyan M, amely… 2. láthatóság-takarás z’ szerint 3. z’ elhagyása: 3 D 2 D; VKR-2 D 4. KKR, a képmezőbe • Párhuzamos vetítésnél M affin, középpontosnál projektív

Gyakrabban használt módszerek

Merőleges vetítés koordináta-síkokra • „Számítások”: a harmadik koordináta elhagyása • Legtöbbször csak 2 -3 nézet A J E F B H

Kiegészítő nézet ferde síkra • A test jellemző síkjával párhuzamos síkra • Forgatással visszavezethető a merőleges vetítésre • A nézetek szabványos egyesítése

Axonometriák • Frontális axonometria • Izometria • Dimetria • Trimetria (olv) • Affin mátrixal, a mátrix: 4 -4 független ponttal

Affin transzformációk mátrixának előállítása • 4 „független” pont és képe • Gyakran: a TKR „ölében ülő” téglatest O = (0, 0, 0) A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0), C = (0, 0, c)

Frontális axonometria (Kavalier perspektíva) • Párhuzamos vetítés, ferde szögben • Rajzolási szabályok: - az UV képsík | | a TKR XZ „homloksíkjával” - X’ = U , Z’ = V; 1 : 1 méretek - Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2 méretek • P’ = M · P ; M = ? • M = ( 1 t 0 0); t = 2/4 |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1) • (tengelycsere és nyírás)

A határozatlan együtthatók módszerével: • O = [0, 0, 0, 1]; • XZ sík (TKR) • O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban || UV sík (KKR) képe A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1] C = [0, 0, 1, 1]; C’ = [0, 1, 0, 1] Y tengely képe 450 -ban hátrafelé: B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1]; bu = cos(f) / 2, bv = sin(f) / 2, bw = +1 (vagy más !!!)

mik kiszámítása: M (A B C O ) (A’ B’ C’ O’) mik = ? : = (m 11 m 12 m 13 m 14) ( 1 0 0 0 ) ( 1 bu 0 0 ), (m 21 m 22 m 23 m 24) |0 1 0 0| | 0 bv 1 (m 31 m 32 m 33 m 34) |0 0 1 0| |0 1 0 0| ( 0 (1 1 11) (1 1 1 1) 0 0 1 ) 0|

Axonometria – tengelyméretes ábrázolás • Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra • „tengelyméretes ábrázolás”: a tengelyirányú rövidülések: k 2 + l 2 + m 2 = 2 • (egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos a ) • Megőrzi a párhuzamosságot és egy-egy irányban a szakaszok arányát • Affin transzformációval számolható

Axonometria - a rajz szokásos elrendezése: TKR: XYZ V KKR: UVW Z’ U X’ Y’

Izometria, egyméretű axonometria • k = l = m = 2/ 3 = 0. 82…; ( ~1 !!!) • A tengelyirányú távolságok jól érzékelhetőek • A TKR egységkockáját a csúcsára állítva a képsíkra merőlegesen • A tengelyek vetülete egymástól 1200 -ra

Levezetés: 4 független pont és képe: {O A B C} {O’ A’ B’ C’} 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 a f g h m = = = 0 –f f 0 –g –g m 0 0 1 1 1 OA = 1, AB = 2 AB/2 = 2/2, AB ( 3/2)/3, 2 g; akármi, de 0 0 h 0 1

Izometria, egyméretű axonometria • M = ( -t | -f/2 ( -h ( 0 f = 2/ 3, t = 1/ 2, h = 3/3 t 0 -f/2 f –h -h 0 0 0 ) 0 | h ) 1 )

Dimetria • k = l/2 = 0. 47…, l = m = 0. 94. . ; • Rajzolási szabály (jó közelítés): X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé X méretek: 1: 2 Y és Z méretek: 1: 1 • P’ = M · P; M = ( - 2/4 21/ 8 0 |- 14/12 – 2/12 8/3 ( - 7/3 – 1/3 ( 0 0 0 • M mozgatás: eltolás és forgatás 0 ) 0 | 1/3) 1 )

Trimetria (olv. ) • k, l, m: három különböző, rögzíthető érték • P’ = M · P ; M mozgatás: eltolás és forgatás - O’ a T (a KKR origója) fölött, - Z” = V tengely - X’, Y’, Z’ a képsíkot P, Q, R-ben döfi cos a = k, cos b = l, cos g = m szög alatt. • M a határozatlan együtthatók módszerével

Képek …