3 2 1 Neperin luku e ja funktio

3. 2. 1. Neperin luku e ja funktio y = ex

Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = kx ex on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e 2, 71828 (laskimella) y = ex (ks. kirja s. 54 - 55) Eksponenttifunktion f(x) = ex ominaisuuksia Mf = R Af = ]0, [ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy eu = ev u = v

E. 1. Sievennä a) e 2 xe-x = e 2 x – x = ex E. 2. Ratkaise yhtälö a) ex+2 = e-x x + 2 = -x 2 x = -2 x = -1 b) e 3(ex+1)2 = e 3 e 2 x+2 = e 3+2 x+2 = e 2 x + 5 b) e 3 x – 6 = 1 e 3 x -6 = e 0 3 x – 6 = 0 3 x = 6 x=2

3. 2. 2. Funktion y = ex derivaatta D(ex) = ex Funktio y = ex on oman itsensä derivaatta: käyrän mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan tangentin kulmakerroin on sama kuin pisteen y-koordinaatti.

E. 3. Derivoi a) f(x) = 2 ex + 3 x a) f’(x) = 2 ex + 3 b) f’(x) = 2 ex(ex + 1) b) f(x) = (ex + 1)2

Olkoon f derivoituva funktio. D(ef(x)) = ef(x) · f ´(x) E. 4. Derivoi a) f(x) = e 2 x d) f(x) = e 2 x ·x 3 a) f‘ (x) = 2 e 2 x b) f‘(x) = 2 e 2 x· x 3 +e 2 x · 3 x 2 = x 2 e 2 x(2 x + 3)

Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E. 5. Laske f ´(1), kun f(x) = e 2 x - x 3 f’(x) = 2 e 2 x – 3 x 2 f’(1) = 2 e 2 - 3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, k. T = f ´(x 0) E. 6. Mikä on käyrän y = e 1 -x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f ’ (x) = –e 1 -x f ’ (1) = -e 1 -1 = -e 0 = -1

E. 7. Määritä a ja b, kun f(x) = eax + b sekä f(0) = 2 ja f ´(0) = 3 f(0) = e 0 + b = b + 1 b +1 = 2 b=1 f’(x) = aeax ae 0 = 3 a=3

E. 8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e 4 x + e-4 x f ’ (x) = 4 e 4 x – 4 e-4 x f ’ (x) =0: 4 e 4 x – 4 e-4 x = 0 4 e 4 x = 4 e-4 x e 4 x = e-4 x 4 x = -4 x 8 x = 0 x=0

Kirjan esimerkki 3, sivu 57 Mitä arvoja f(x) = 2 x + e-2 x saa? Funktio on jva ja dva kaikkialla 0 Derivaatan nollakohdat: f’ f ’ (x) = 2 – 2 e-2 x f - = 2(1 – e-2 x) min f ’ (x) = 0: 1 – e-2 x = 0 e-2 x = 1 + e-2 x = e 0 Pienin arvo: -2 x = 0 Kulkukaavion perusteella Kulkukaavio: f(0) = 1 f’(-1) = 2(1 -e 2) -12, 8 < 0 Suurin arvo: f’(1) = 2(1 -e-2) 1, 7 > 0 Koska lim f(x) = , niin funktiolla V: Funktio f saavuttaa kaikki ne arvot, jotka ovat 1 x -> ei ole suurinta arvoa, vaan funktio saavuttaa mielivaltaisen suuria arvoja.