3 1 DERIVAATAN MRITELM Kirja E 1 s

3. 1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ Kirja, E. 1. s. 62 – 63 3. 1. 1. Erotusosamäärä (EOM) Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x 0 kohtaan x (x 0 ¹ x) on

E. 1. Laske funktion f(x) = x 2 + 2 x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3. a) b)

3. 1. 2. Tangentin kulmakerroin. Derivaatta Kirja, s. 64 - 65

Derivaatan määritelmä Funktion f(x) derivaatta kohdassa x 0 f ´(x 0) = eli kohdassa x 0 lasketun EOM: n raja-arvon ollessa olemassa, on funktio f derivoituva kohdassa x 0

Jos EOM: llä vain oikeanpuoleinen (vasemmanpuoleinen) raja-arvo, niin f on kohdassa x 0 oikealta (vasemmalta) derivoituva. Merkinnät f’ (x 0+) [f ’ (x 0 -) ] Derivaatan määritelmä voidaan kirjoittaa myös muotoon

E. 2. Mikä on funktion f(x) = x 2 + 2 x + 3 kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? Tangentin kulmakerroin

E. 3. Olkoon f(x) = x 2 - 3 x. Laske f ‘ (1)

3. 1. 3. Derivoituvuus ja jatkuvuus Olkoon funktio määritelty jollakin välillä I. Sanomme että f on derivoituva välillä I, jos se on derivoituva välin jokaisessa kohdassa. Lause Derivoituva funktio on aina jatkuva (jatkuvuus on derivoituvuudelle välttämätön ehto, mutta ei riittävä)

3. 1. 4. Derivaattafunktio Kirjan E. 1. , s 69 Määritä funktion f(x) = x 2 derivaatta kohdassa a) -2 b) 1 c) ½ d) x 0 d ensin: f(x) = x 2 f ’(x) = 2 x

E. 4. (t. 168) Laske kahta erotusosamärän eri muotoa käyttäen funktion derivaatta kun h 0

Derivaattafunktio f’ on funktio, jonka arvot ovat annetun funktion f derivaatan arvoja kaikilla kohdilla x Derivoiminen = derivaattafunktion (*derivaatta) muodostaminen Merkintöjä: f’ , Df, df/dx, y’, dy/dx Vakiofunktion derivaatta Dc = 0 Identtisen funktion derivaatta D(x) = 1 ks. E. 3. kirja s. 71 (ks. E. 2. s. 70)

3. 1. 5. Korkeamman kertaluvun derivaatat Toisen kertaluvun derivaatta f ’’ ”derivoidaan derivaattafunktio” Yleisesti:

Kirjan esimerkki 1, s. 72