29 Determinanten Eigenschaften und Berechnung 29 1 Definition

§ 29 Determinanten: Eigenschaften und Berechnung (29. 1) Definition: Eine Determinantenfunktion auf Knxn ist eine Abbildung (im Falle char(K) ungleich Zwei) die bezüglich der Spalten der (n. n)-Matrizen n-linear und alternierend ist. Also gilt nach 28. 5 für jede Determinantenfunktion (29. 2) Definition: Die Determinantenfunktion Δ mit Δ(E) = 1 heißt die Determinante und wird mit det bezeichnet. Folie 1

Kapitel V, § 29 Berechnung mit dieser Definition? Es gilt: Und diese Formel nehmen wir als Definition im Falle char(K) = 2. Bezeichnung: Die Formel ist als die Leibnizformel bekannt. (29. 3) Satz: Für (n, n)-Matrizen A und B gilt stets 1 o det(A) = det(AT). 2 o det(AB) = det(A)det(B). 3 o 4 o Und speziell Mehr zur Berechnung von Determinanten: . (29. 4) Definition: Eine obere Dreiecksmatrix ist eine (n, n)-Matrix A mit. Entsprechend: Untere Dreiecksmatrix. Folie 2

Kapitel V, § 29 04. 02 (29. 5) Satz: Für eine obere Dreiecksmatrix A ist (29. 6) Verfahren: Eine vorgegebene (n, n)-Matrix A bringe man durch Spaltenvertauschungen und durch Addition von geeigneten Vielfachheiten von Spalten auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix B. Dann gilt: det(A) = (– 1)–kdet(B). Analog für Zeilenoperationen. Beispiel! (29. 7) Satz: Für eine (n, n)-Matrix A der Form 30. 01. 02 mit einer (p, p)-Matrix B und einer (q, q)-Matrix D (n = p + q). Folie 3

Kapitel V, § 29 Dann gilt det(A) = det(B)det(D). Entsprechend ergibt sich ein zu 29. 6 analoges Verfahren. Zur Darstellung einer weiteren Berechnungsformel brauchen wir zu einer (n, n)-Matrix A und zu (μ, ν) aus n 2 die (n-1, n-1)-Matrix , die aus A durch Streichen der μ–ten Zeile und der ν–ten Spalte entsteht. 06. 02 (29. 8) Entwicklungssatz von Laplace: Für eine (n, n)-Matrix A und (Entwicklung nach Zeile m. ) Analog ist für : (Entwicklung nach Spalte k. ) Folie 4

Kapitel V, § 29 Zum Beispiel die Entwicklung der Determinante einer (3, 3)-Matrix nach Zeile 1: Beweis zum Entwicklungssatz 29. 8: Zunächst gilt wegen für den Zeilenvektor Am und wegen der Multilinearität von det: Folie 5

Kapitel V, § 29 Ferner ist Dabei entsteht die letzte Matrix aus der mittleren durch Verschieben der ersten Spalte um ν – 1 Positionen und durch Verschieben der ersten Zeile um m – 1 Positionen. Es folgt (Addition von geeigneten Vielfachen der m-ten Zeile zu den anderen Zeilen): Folie 6

Kapitel V, § 29 Also und damit die Leibnizformel durch Einsetzen in die Beginn bewiesene Gleichung: Folie 7

Kapitel V, § 29 Die komplementäre Matrix ist die Matrix (29. 9) Satz: 29. 9 enthält den Entwicklungssatz 29. 8. Mit den Koeffizienten (Kofaktoren genannt) der komplementären Matrix gilt daher: (29. 10) Korollar: Für invertierbare A : Folie 8