29 10 2018 Kombinatsioonide arvu leidmine Pascali kolmnurk

29. 10. 2018

Kombinatsioonide arvu leidmine

Pascali kolmnurk Leiame

Pascali kolmnurk Tulemused esitame kolmnurgana.

Pascali kolmnurk kombinatsioonidena

Pascali kolmnurk (1653) 1 1 1 1 1 8 3 5 7 6 15 1 4 10 20 35 56 1 3 10 21 28 2 4 6 1 5 15 35 70 1 1 6 21 56 1 7 28 1

Chu Shih Chieh (Zhu Shijie) - 1303 朱世杰 1 1 1 2 3 1

Pascali kolmnurga omadusi Leiame iga rea elementide summa: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256

Ülesanne 1 Ruumis on 6 autonoomset valgustit (omaette lülitiga). Mitu erinevat valgustusskeemi saab nende valgustite abil luua?

Ülesanne 2 Jussikesel on 7 sõpra. Mitu erinevat seltskonda saab ta endale külla kutsuda?

Newtoni binoomvalem Teatavasti: (a+b)0 = 1 (a+b)1 = a + b = 1 a + 1 b (a+b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 = 1 a 2 + 2 ab + 1 b 2 (a+b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 = = 1 a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + 1 b 3 Kirjutades välja kordajad, saame Pascali kolmnurga!

Newtoni binoomvalem Kordajad saame Pascali kolmnurgast, muutujate astmed: a astendajad vähenevad b astendajad suurenevad a ja b astendajate summa on n

Harjutus Kirjutada välja (x + y)4 = (a + b)5 =

Harjutus Kirjutada välja (x + y)4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 (a + b)5 = =a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5 Kuidas toimida, kui sulgudes on negatiivne liige?

Fibonacci arvud Vaatleme arvujada 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … Jada iga liige (alates 3. liikmest) on kahe eelneva liikme summa. Sellist jada nimetatakse Fibonacci jadaks (kirjeldatud aastal 1202)

Pascali kolmnurk ja Fibonacci arvud

Turku Energia OY korsten

Fibonacci spiraal

Fibonacci spiraal looduses

Näited Fibonacci arvude kohta

XX. 11. 2016 • • Pascali kolmnurk Newtoni binoomvalem Riigieksamilt 2015 De Méré ülesande lahendus

Tegevus nr 1 Kirjutada välja Pascali kolmnurk, milles on vähemalt 7 -8 rida. Aega on 60 sekundit.

Pascali kolmnurk 1 1 1 1 1 8 3 5 7 6 15 1 4 10 20 35 56 1 3 10 21 28 2 4 6 1 5 15 35 70 1 1 6 21 56 1 7 28 1

Newtoni binoomvalem Kordajad saame Pascali kolmnurgast, muutujate astmed: a astendajad vähenevad b astendajad suurenevad a ja b astendajate summa on n

Lahendusskeem 1 1 1 2 3 1 (x + 3)3 = 1 x 3 + 3 x 2 3 + 3 x 32 + 1 33 = = x 3 + 9 x 2 +27 x + 27

Ülesanne 1 Koostada Pascali kolmnurk ning avaldada selle abil (a + 2)5 = (2 x + 3)4 = (x – 4 y)4 =

Ülesanne 1 (lahendus) Koostada Pascali kolmnurk ning avaldada selle abil

Riigieksami ülesanne aastast 2015 Karbis on rohelised ja punased pliiatsid, kokku 27 pliiatsit. Valides ühe juhusliku pliiatsi, on punase pliiatsi saamise tõenäosus. 1. Mitu punast ja mitu rohelist pliiatsis on karbis? 2. Arvutada järgmiste sündmuste tõenäosus: 1) üks juhuslikult valitud pliiats on roheline; 2) kaks juhuslikult valitud pliiatsit on mõlemad punased

Võimalik lahendus 1. Olgu punaste pliiatsite arv x. Siis tõenäosus saada punane pliiats on • Kuna see tõenäosus on teada, siis saame: • Seega karbis on 12 punast ja 15 rohelist pliiatsit.

(lahenduse jätk) 2. Leiame vastavad tõenäosused: 1) (rohelise pliiatsi saamise tõenäosus): 2) (saadakse kaks punast pliiatsit):

De Méré ülesanne Võrdsete võimalustega mängu mängitakse 5 võiduni. Mängija A on võitnud 3 mängu, mängija B on võitnud 2 mängu. Kui mäng katkestatakse, millises suhtes tuleks panused jaotada?

Méré ülesande lahendus (Fermat) A võidab Seis on 5: 2 A võidab Seis on 5: 3 A võidab Seis on 4: 2 B võidab A võidab Seis on 5: 4 Seis on 4: 3 B võidab Seis on 4: 4 B võidab Seis on 4: 5 Algus; seis on 3: 2 A – vaja 2 võitu A võidab Seis on 5: 3 B – vaja 3 võitu A võidab Seis on 4: 3 A võidab Seis on 5: 4 B võidab Seis on 4: 5 B võidab Seis on 3: 3 A võidab Seis on 5: 4 A võidab Seis on 4: 4 B võidab Seis on 3: 4 B võidab Seis on 4: 5 B võidab Seis on 3: 5 A võit: B võit:

Võitude suhe (selles suhtes tuleb jagada panused):

De Méré probleemi lahendus Pascali kolmnurga abil Panuste suhe: (1 + 4 + 6) : (4 + 1) = 11 : 5

Ülesanne Mängitakse 6 võiduni. Mängijal A on vaja saada 2 võitu, mängijal B 4 võitu. Kui suur on mängijate võitude tõenäosuste suhe p(A) : p(B)? /kasutada Pascali kolmnurka võitude puud/