22 Invertierbare Matrizen und quivalenz von Matrizen Wir

§ 22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22. 1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n, n)-Matrix der Form oder (22. 2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d. h. es gibt eine (n, n)-Matrix G mit FG =GF = E. Notation: F-1 : = G. Folie 1

Kapitel IV, § 22 Wegen (22. 3) Lemma: Die Inverse einer Elementarmatrix ist wieder eine Elementarmatrix. (22. 4) Elementarmatrizen und elementare Umformungen von Matrizen: Sei A eine (m, n)-Matrix. Dann gilt: 1 o AFk(t) entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit t (hier ist Fk(t) eine (n, n)-Matrix). 2 o entsteht aus A durch Addition der k-ten Spalte zur jten Spalte. 3 o Fk(t)A entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit t (hier ist Fk(t) eine (m, m)-Matrix). 4 o entsteht aus A durch Addition der j-ten Zeile zur k-ten Zeile. Jede elementare Umformung einer Matrix lässt sich also durch Heranmultiplizieren von Elementarmatrizen beschreiben. Daher nach 20. 11: Folie 2

Kapitel IV, § 22 (22. 5) Normalformensatz: Zu jeder Matrix A gibt es (m, m)-Matrizen U und (n, n)-Matrizen V , die jeweils Produkte von Elementarmatrizen sind, so dass gilt: (22. 6) Korollar: Für eine (n, n)-Matrix A eine gilt: A ist genau dann invertierbar, wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Andere Kriterien für „Invertierbarkeit“: Die durch A gegebene lineare Abbildung ist bijektiv (oder injektiv, oder surjektiv) oder rg(A) = n. (22. 7) Definition: Zwei (m, n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P und Q gibt, so dass A = PBQ. Diese „Äquivalenz“ liefert eine Äquivalenzrelation auf Kmxn. (22. 8) Äquivalenzsatz: Zwei (m, n)-Matrizen A und B sind äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. 14. 01. 02 Daher: Knxn/~ = {0, 1, 2, . . . , n} und Kmxn/~ = {0, 1, 2, . . . , max{n, m}}. Folie 3