21 Stetige Funktionen Eine Funktion f ist eine

Eine Funktion f ist eine Abbildung, d. h. eine Vorschrift, die jedem Element x

f(x) ist nicht stetig oder unstetig in x 0 , wenn es ein e

Beispiel: Die Funktion f(x) = x ist überall stetig. Beweis: Sei d = e,

Stetige Funktionen die konstante Funktion f(x) = c die lineare Funktion f(x) = m

Nicht jede stetige Funktion ist beschränkt: f(x) = 1/x mit = (0, ) Satz:

Slides: 9

Download presentation

21. Stetige Funktionen

Eine Funktion f ist eine Abbildung, d. h. eine Vorschrift, die jedem Element x eines Definitionsbereiches genau ein Element y = f(x) eines Wertebereiches zuordnet. f(x) ist genau dann stetig in x 0 , wenn es zu jedem e > 0 ein d > 0 gibt, so dass für alle x mit 0 < |x - x 0| < d gilt: |f(x) - f(x 0)| < e f ist genau dann stetig in x 0 , wenn für jede Folge (xn) mit xn x 0 und Grenzwert x 0 gilt:

f(x) ist nicht stetig oder unstetig in x 0 , wenn es ein e > 0 gibt, so dass es zu jedem d > 0 ein x gibt mit |x - x 0| < d und |f(x) - f(x 0)| > e oder undefiniert f ist nicht stetig in x 0 , wenn es mindestens eine Folge (xn) mit xn x 0 und Grenzwert x 0 gibt, so dass Ist eine Funktion im Punkt x 0 nicht erklärt, so ist sie dort auch nicht stetig: f(x) = x/x Eine Folge ist nicht stetig. f heißt stetig auf , wenn f in jedem Punkte x stetig ist.

Beispiel: Die Funktion f(x) = x ist überall stetig. Beweis: Sei d = e, dann ist |f(x) - f(x 0)| = |x - x 0| < d = e

Beispiel: Die Funktion f(x) = x ist überall stetig. Beweis: Sei d = e, dann ist |f(x) - f(x 0)| = |x - x 0| < d = e Beispiel: Die Funktion f(x) = 1/x ist stetig in (0, ) Beweis: Sei , dann ist Kann d(e) auf B fest gewählt werden (also unabhängig von x und x 0), so heißt die Funktion gleichmäßig stetig auf B .

Stetige Funktionen die konstante Funktion f(x) = c die lineare Funktion f(x) = m x + c die quadratische Funktion f(x) = a x 2 + b x + c Polynome allgemein f(x) = Snanxn der Absolutbetrag f(x) = |x| Die Funktion f(x) = { Nicht stetig ist f(x) = { 0 für x < 0 m x für x 0 0 für x < 0 1 für x 0 Behebbare Unstetigkeitsstelle: (x-1)2/(x-1) = (x-1)

Nicht jede stetige Funktion ist beschränkt: f(x) = 1/x mit = (0, ) Satz: Sei f in x 0 stetig; dann gibt es eine Umgebung U = (x 0 - e, x 0 + e) von x 0 mit e > 0, so dass f(U) beschränkt ist. Zwischenwertsatz von Bolzano: Sei f(x) stetig auf [a, b] und f(a) y f(b). Dann gibt es ein x 0 [a, b] mit f(x 0) = y. f(a) 0 f(b) Nullstelle in [a, b] f(b) x 0 f(a) x