21 11 2016 Pascali kolmnurk ja Newtoni binoomvalem

21. 11. 2016

Pascali kolmnurk ja Newtoni binoomvalem

Kontrollülesanne Kirjutada välja sobiva suurusega Pascali kolmnurk ning avaldada a) (x + 2)4 = b) (2 x – 3 b)5 =

Kontrollülesanne Kirjutada välja sobiva suurusega Pascali kolmnurk ning avaldada a) (x + 2)4 = x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 16 b) (2 x – 3 b)5 =

Kontrollülesanne Kirjutada välja sobiva suurusega Pascali kolmnurk ning avaldada a) (x + 2)4 = x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32 x + 16 b) (2 x – 3 b)4 = 16 x 4 – 24 x 3 b + 216 x 2 b 2 – 216 xb 3 + 81 b 4

Sündmuste summa Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B Tähistus: /mõnedes õpikutes kasutatakse ka tähistust /

Näited 1. Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse üks juhuslik kaart. A – saadakse risti mastist kaart B – saadakse ruutu mastist kaart - saadakse risti või ruutu mastist kaart

2. Urnis on 4 valget, 5 musta ja 6 punast kuuli. Valitakse üks juhuslik kuul. A – valitud kuul on valge B – valitud kuul on punane - valitud kuul on valge või punane

3. Visatakse täringut. Sündmused on järgmised: A – saadakse 3 või 4 silma B – saadud silmade arv jagub 2 -ga (2; 4; 6) - saadakse 2, 3, 4 või 6 silma

Välistavad sündmused Kahte sündmust, mis ei saa sama katse tulemusena toimuda (s. t ei saa esineda üheaegselt) nimetatakse teineteist välistavateks.

Mittevälistavad sündmused Mõned katsetulemused sobivad mõlemale sündmusele; seda ühist osa nimetatakse sündmuste korrutiseks.

Sündmuste summa tõenäosus A, B – teineteist välistavad sündmused; A, B – teineteist mittevälistavad sündmused

Tehted sündmustega • Sündmuste summa – toimub vähemalt üks sündmustest A ja B; tähistus teineteist välistavad sündmused teineteist mittevälistavad sündmused

Tehted sündmustega • Sündmuste summa – toimub vähemalt üks sündmustest A ja B; tähistus teineteist välistavad sündmused teineteist mittevälistavad sündmused • Sündmuste korrutis – toimuvad mõlemad sündmustest A ja B; tähistus

Sündmuste korrutis

Näited 1. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart. A – saadakse risti mastist kaart B – saadakse pilt (S, E, K) - saadakse risti mastist pilt

Näited (jätk) 2. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart. A – saadakse punane kaart (ärtu või ruutu) B – saadakse ärtu emand - saadakse ärtu emand

Sõltuvad ja sõltumatud sündmused Sõltumatud sündmused – ühe sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust. Sõltuvad sündmused – ühe sündmuse toimumine mõjutab teise sündmuse tõenäosust. Kuidas teha kindlaks, kas sündmused on sõltumatud või sõltuvad?

Kas sõltumatud või sõltuvad? Leiame sündmuse B tõenäosuse kahel erineval juhul: a) kui sündmus A on toimunud b) kui on toimunud vastandsündmus Kasutame sellist esitusviisi: sündmuse B tinglik tõenäosus eeldusel, et sündmus A on toimunud

Näite 2 andmetel ! d a v u t l õ s n Eeldame, et toimunud on sündmus A. o B Sündmuse B tõenäosuse leiame punaste a j A d kaartide baasil. e s u m d n ü S Eeldame, et toimunud on sündmus Sündmuse B tõenäosuse leiame mustade kaartide baasil.

Näited (jätk) 2. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart. A – saadakse punane kaart (ärtu või ruutu) B – saadakse ärtu emand - saadakse ärtu emand

Näite 1 jätk. Kaardipakis on 52 kaarti. Võetakse üks kaart. A – saadakse risti mastist kaart B – saadakse pilt Leiame sündmuse B tinglikud tõenäosused: ! d u t a Eeldame, et A on on toimunud – u väljavalitud m t l toimunud – väljavalitud kaart onsruutu, ärtu või pada õ n kaart on risti mastist; o mastist; B a sündmuse B tõenäosuse j sündmuse B)tõenäosuse A A | d B arvutame risti masti arvutame nende mastist ( e s p u = ) kaartide põhjal m B ( d p n ü S

Sündmuste korrutise tõenäosus • Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on sündmuste tõenäosuste korrutis: • Sõltuvate sündmuste tõenäosus:

Näited (jätk) 3. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal korral saadakse 6 silma? Lahendus A – esimesel viskel saadakse 6 silma; B – teisel viskel saadakse 6 silma. A, B – sõltumatud sündmused

Näited 4. Urnis on 4 valget ja 5 musta kuuli. Võetakse kaks kuuli (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et mõlemad kuulid on valged? Lahendus A – esimesena võetud kuul on valge, B – teisena võetud kuul on valge. Sündmuse B tõenäosus sõltub sündmusest A.

Näide 4 kombinatsioonide abil Kõikide võimaluste arv kahe kuuli võtmiseks: soodsate võimaluste arv kahe valge kuuli saamiseks: Tõenäosus:

Ülesanded • • NR 110 NR 111 NR 112 NR 113 NR 116 NR 117 NR 119

Ülesanded • • NR 110 NR 111 NR 112 NR 113 NR 116 NR 117 NR 119 sõltumatud sõltuvad 1) 0, 56 2) 0, 94