20120509 phm Observatoire Lyon 2010 Atelier Orbite keplerienne

2012/05/09 phm – Observatoire Lyon - 2010 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 1

L’orbite d’une planète ou d’un exoplanète autour de son étoile suit les lois de Kepler. Connaissant les caractéristiques du système, on peut simuler son mouvement ainsi que celui de l’étoile sous Geogebra. L’observation des vitesses radiales pour la découverte des exoplanètes est devenue classique. Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ? 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 2

Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ? Deux approches peuvent être utilisées : - de façon dynamique par le calcul du vecteur vitesse et la dérivation de sa position. - de façon géométrique à partir du module et de la tangente à l’ellipse qui porte le vecteur vitesse. C’est celle qui sera envisagée ici. Démarche pour tracer le vecteur : - calculer l’amplitude - trouver son orientation - et le tracer 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 3

On part d’une simulation sous Geogebra Ouvrir le fichier orbes_exopla 0. ggb Les curseurs permettent de faire varier les principaux paramètres 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 4

Les objets de l’animation Le curseur tps représente le temps. Il peut être animé. Les paramètres variables de base sont : - période de rotation PSYS - excentricité e - masse de l’étoile (en masses solaires) ME - masse de la planète (en masses de la Terre) MP On en déduit le demi grand axe a du système et des corps a. P et a. E exprimés en millions de km. Les 2èmes foyers F 2 P et F 2 E des deux orbites. M : anomalie excentrique u, u 0, u 1 … u 4 servent à résoudre l’équation de Kepler par itérations et donnent v angle entre le rayon vecteur r et le grand axe. Le centre de gravité du système est au point origine (0, 0). 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 5

1 – Valeur de la vitesse d’une planète sur son orbite La résolution du système képlérien permet d’expliciter la valeur de la vitesse d’une planète sur son orbite en fonction de son rayon vecteur. Avec : a demi grand axe, M masse de l’étoile, G constante de la gravitation. Dans Geogebra , on crée les objets auxiliaires en unités légales (m, kg, s) : m_S G p C = = 2 E+30 masse du Soleil 6. 672 E-11 Cte de la Gravitation a*(1 -e*e)*1 E+06 sqrt(G*m_S*M_E*p) On calcule la vitesse exprimée en km/s vit=C/p*sqrt(1+2*e*cos(v)+e*e)/1000 Que l’on affichera. Référence équations : www. astrosurf. com/nitschelm/mecanique. pdf 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 6

2 – Vecteur vitesse : direction Il est sur la tangente à l’ellipse au point E : tgp=Tangente[P, el_P ] Il nous faut son angle avec l’axe des abscisses : α=Angle[axe. X, tgp] Le sens de rotation choisi, fait que l’angle du vecteur vitesse avec l’axe des abscisses vaut : a +/- 180° 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 7

3 – Vecteur vitesse : composantes Le vecteur vitesse a pour origine le point P. Son module vaut à un facteur près vit. Direction : a +/- 180° Composante en x : vit*cos (α+180°) Composante en y : vit*sin (α+180°) a 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 8

3 – Vecteur vitesse : tracé Construction du vecteur : Vvit = Vecteur[P, (x(P)+vit*cos(α+180°), y(P)+vit*sin(α+180°))] Ou en coordonnées polaires Vvit=Vecteur[P, Translation[P, (vit; α+180°)]] A l’échelle de notre graphique, sa longueur est trop grande. Réécrire la formule de vit en la divisant par 40. vit = sqrt(1 + 2(1 + e cos(v)) / (a (1 - e²)))/40 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 9

3 – Vecteur vitesse : tracé On peut cacher : - la droite tangente tgp - l’angle a Donner au curseur tps, une vitesse d’animation 0. 05 Faire varier les paramètres. 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 10

3 – Vitesse radiale C’est la projection du vecteur vitesse sur le rayon vecteur. On crée le point P’, intersection de EP et de la perpendiculaire à EP depuis l’extrémité du vecteur vitesse. P' = Intersection[Droite[(E, P], Perpendiculaire[(x(P)+vit*cos(α+pi), y(P)+vit*sin(α+pi)), E, P]]] Vecteur vitesse radiale : Vr = Vecteur[P, P'] 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 11

3 – Vitesse radiale Faire tracer les valeurs des vitesses en fonction de la période : P_V = ((tps - floor(tps / P_{SYS}) / P_{SYS} 150, vit) P_{VR} = ((tps-floor(tps/P_{SYS})*P_{SYS})/P_{SYS}*150, longueur[Vr] *Si[Longueur[P]>Longueur[P'], -1, 1]) Dans les propriétés de PV et PVR, on cochera l’option « Trace » . On pourra faire passer ces deux tracés dans la deuxième fenêtre graphique. Remarque : avec les unités choisies, l’échelle des ordonnées donne les vitesses en km/s. 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 12

Le choix des unités et des plages de variations des curseurs permet de simuler de nombreux systèmes : de l’orbite de la Terre où l’on retrouve les vitesses aux exoplanètes que l’on découvre actuellement. Remarques : le tracé de la courbe des ellipses sous Geogebra est approximatif. Si vous grossissez très fortement le tracé autour du point P, vous aurez la surprise de constater que le point P n’est pas exactement sur la courbe ellipse. 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 13

FIN 2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 14

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