20080104 La connaissances des Temps Calendriers Formation mathmatique

2008/01/04 La connaissances des Temps

Calendriers Formation mathématique des calendriers La réforme grégorienne était-elle la plus judicieuse ? 2008/01/04 La connaissances des Temps 2

Formation mathématique des calendriers Les astronomes, par leurs observations et connaissances mathématiques, ont toujours été associés à la construction des calendriers. Pour ne pas voir dériver trop vite un calendrier basé sur une année forcément fausse (nombre entier de jours), quelles corrections périodiques ou non doit-on faire ? Contre exemple : calendrier vague de 365 jours, se recale au bout de 1461 ans. Pour être commode d’utilisation, on recherche dans un cycle de n années, le nombre m de corrections, ajouts ou retraits, d’un ou plusieurs jours à faire pour se recaler le mieux possible sur le Soleil. Exemples : calendrier musulman, alternance irrégulière des mois à 29 et 30 jours. Calendrier julien, ajout d’un jour tous les 4 ans. 2008/01/04 La connaissances des Temps 3

Formation mathématique des calendriers Quel outil mathématique de recherche de la solution ? Décomposition en fractions continues. But : trouver une approximation d’un nombre réel positif sous forme d’un quotient deux nombres entiers. Méthode On écrit le nombre sous la forme Puis Le nombre s’écrit q = q 0 + u 1 (u 1 <1) 1/ u 1 = q 1 + u 2 … 1/ un = qn + un+1 Exemple : le nombre PI ? 3, 7, 16, 1, 292 3, 22/7, 333/106, 355/113 2008/01/04 La connaissances des Temps 4

L’année tropique 365, 24221988 On va recher pour la partie fractionnaire de l’année tropique ses décompositions en fractions continues. Soit n/m une bonne approximation. Si dans un laps de m années, on fait n années bissextiles, quelle sera la moyenne de l’année sur ces m années ? Nombre de jours écoulés sur m années : Nj = 365 x m + n (corrections) Moyenne sur m années : Nj =(365 xm)/ m + n/m = 365 + n/m On a bien une valeur moyenne proche de la valeur réelle. 2008/01/04 La connaissances des Temps 5

L’année tropique 365, 24221988 Travail avec excel Décomposition en fraction continue de la partie fractionnaire: q 1, q 2, q 3, … q 6 Pour chaque q, calculer les numérateur et dénominateur de la fraction continue correspondante (à la calculette) et l'inscrire dans la feuille du tableur : • 1 colonne numérateur • 1 colonne dénominateur Calculer dans les colonnes suivantes : • La durée moyenne de l’année ainsi établie, • La différence avec l’année tropique vraie, • Le nombre d’années pour que la différence fasse un jour. 2008/01/04 La connaissances des Temps 6

L’année tropique Décomposition en fraction continue : Suite des qi ? 365, 24221988 4, 7, 1, 3, 5, 6 Nb année pour 1 jour Fractions Durée année Différence 1/4 365. 25000 -0. 0078012 128 7 / 29 365. 24138 0. 00081949 1220 8 / 33 365. 24242 -0. 000225442 4436 31 / 128 365. 24219 1. 13 E-05 88496 163 / 673 365. 24220 -3. 0847 E-07 3241811 1009 / 4166 365. 24220 4. 81997 E-08 20747019 2008/01/04 La connaissances des Temps 7

Et l’année grégorienne ? Durée de l’année grégorienne ? 400 année grégoriennes 400 années normales : 400 * 365 jours 100 -3 années bissextiles : + 97 jours 400 x 365 + 97 = 146097 1 an = 365, 2425 jours 1/4 365. 25000 -0. 0078012 128 7 / 29 365. 24138 0. 00081949 1220 8 / 33 365. 24242 -0. 000225442 4436 31 / 128 365. 24219 1. 13 E-05 88496 163 / 673 365. 24220 -3. 0847 E-07 3241811 1009 / 4166 365. 24220 4. 81997 E-08 20747019 Année grégorienne 365, 2425 -0. 0003012 2008/01/04 La connaissances des Temps 3320 8

Et l’année grégorienne ? Discussion 1/4 365. 25000 -0. 0078012 128 7 / 29 8 / 33 365. 24138 365. 24242 0. 00081949 -0. 000225442 1220 4436 31 / 128 365. 24219 1. 13 E-05 88496 163 / 673 1009 / 4166 365. 24220 -3. 0847 E-07 4. 81997 E-08 3241811 20747019 Année grégorienne 365, 2425 -0. 0003012 3320 Le cycle 7 / 29 : 8 années bissextiles en 29 ans ? Le cycle 8 / 33 : 8 années bissextiles en 33 ans ? Non utilisé Utilisé : calendrier persan Le cycle 31 / 128 : 31 années bissextiles en 128 ans ? 2008/01/04 La connaissances des Temps A été proposé 9

Compléments La fraction 31 / 128 pourrait être mise en œuvre facilement : Sur un cycle de 128 ans, il faut une année bissextile tous les 4 ans 32 = 128/4, sauf une. Si l’on numérote les années du cycle 1 à 128, et si on prend comme principe d’avoir les années bissextiles de rangs 4, 8, 12, … 128 Il suffit que la dernière année de rang 128 ne soit pas bissextile. La réforme grégorienne est basée sur un double cycle de 4 et 400 ans. Mais 4 étant diviseur de 400, le cycle global est 400. Autres sujets abordables par les fractions continues : L’année lunaire, le nombre d’or, le Saros… 2008/01/04 La connaissances des Temps 10

Calendrier œcuménique Calendrier julien en arabe Turquie 1912 Calendrier julien en grec Calendrier musulman Calendrier grégorien Calendrier israélite 2008/01/04 La connaissances des Temps 11

Remarques 1 - Si l’on ne trace sur le mur qu’une méridienne, un style horizontal suffit pour voir l’ombre de son extrémité passer sur le tracé de l’équation du temps. Si la longueur de la tige est l, il suffit de remplacer dans les formules l cos j par l. 2 - Souvent pour une méridienne, l’extrémité de la tige porte un petit disque percé en son centre. C’est alors la tache lumineuse qui sert à repérer la trajectoire du Soleil, comme dans les grandes méridiennes des églises. 2008/01/04 La connaissances des Temps 12

Tracé et calcul sous excel Voir le fichier trace_meridienne. xls • feuille 1 mur non déclinant • feuille 2 mur déclinant 2008/01/04 La connaissances des Temps 13

La méridienne de l’Hôtel de Ville de Lyon 2008/01/04 La connaissances des Temps 14

Bibliographie Calendriers Annuaire de l’IMCCE Ephémérides astronomiques (annuel) • Chapitre I Données sur les calendriers • Chapitre II Définitions générales : coordonnées et temps Calendriers Saga sur http: //www. louisg. net 2008/01/04 La connaissances des Temps 15