20 TRANSPORTNI PROBLEM L V Kantorovi 1939 F

20. TRANSPORTNI PROBLEM L. V. Kantorovič (1939) F. L. Hitchcook (1941) 1

TRANSPORTNI PROBLEM l Transportni problem predstavlja model čijim se korišćenjem određuje optimalan program distribucije određene vrste robe iz različitih mesta ponude (tzv. ishodišta) do različitih mesta tražnje (tzv. odredišta), pri čemu se podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost l Kriterijum za optimizaciju: l l minimizacija ukupnih transportnih troškova minimizacija ukupnog vremena transporta 2

TRANSPORTNI PROBLEM l Značaj transportnog problema raste iz razloga što se povećava udaljenost od: l l proizvođača sirovina do proizvođača gotovih proizvoda i proizvođača gotovih proizvoda do potrošača 3

PRETPOSTAVKE l l l Postoji m ishodišta (mesta ponude) P 1, P 2, …. , Pm koja raspolažu određenom homogenom vrstom robe Postoji n odredišta (mesta tražnje) T 1, T 2, …, Tn Teritorijalna razdvojenost ishodišta i odredišta 4

GRAFIČKI PRIKAZ 5

OZNAKE l l xij – količina robe koja se transportuje iz i-tog ishodišta u j-to odredište (i=1, …, m; j=1, …, n); cij – transportni troškovi po jedinici prevezene robe od i-tog ishodišta do j-tog odredišta (i=1, …, m; j=1, …, n); ai – raspoloživa količina robe (ponuda) u i-tom ishodištu (i= 1, . . . , m) ; bj – iznos tražnje za posmatranom robom u j-tom mestu tražnje (odredištu) (j=1, . . . , n) 6

Cilj transportnog problema l Cilj rešavanja transportnog problema: odrediti optimalne vrednosti promenljivih xij (i=1, …, m; j=1, …, n), tj. optimalne količine prevezene robe na pojedinim putevima, za koje će se ostvariti minimalna vrednost ukupnih transportnih troškova, to jest minimalna vrednost funkcije cilja pri čemu moraju biti zadovoljena ograničenja: 7

Ograničenja a)Ukupna količina raspoložive robe svakog ishodišta mora biti raspodeljena (distribuirana) na mesta tražnje b)Tražnja svakog odredišta (mesta tražnje, potrošačkog centra) mora biti u potpunosti zadovoljena c)Količine prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajuće promenljive moraju biti nenegativne veličine 8

FORMULACIJA PROBLEMA. . . 3. 1. . 3. 2. . 3. 3. 4. 9

FORMULACIJA PROBLEMA 10

Tabelarni prikaz 11

Teorema 3. 1. l Transportni problem ima rešenje ukoliko je ukupna ponuda jednaka ukupnoj tražnji, tj. ako je 12

Dokaz teoreme 3. 1. l Ako se sumiraju izrazi (3. 2. ) i (3. 3. ) koji predstavljaju ograničenja transportnog problema, po svim indeksima i i j, dobiće se odakle sledi da je što je potreban uslov za rešavanje transportnog problema 13

Dovoljan uslov l Da bi dokazali da izjednačavanje ukupne ponude i ukupne tražnje predstavlja i dovoljan uslov za rešavanje transportnog problema treba da pokažemo da količina prevezene robe predstavljena izrazom predstavlja moguće rešenje transportnog problema. 14

l l Kako su sve vrednosti nenegativne veličine to je i Pored toga, ukoliko izraz sumiramo po i i po j , dobijamo 15

Teorema 3. 2. l Teorema 3. 2. Broj linearno nezavisnih jednačina sistema ograničenja transportnog problema je 16

Dokaz l l Pretpostavimo da imamo kombinaciju vrednosti promenljivih za koje znamo da zadovoljavaju sve jednačine sistema ograničenja izuzev, na primer, prvu jednačinu. Pokazaćemo da takva pretpostavka ne može biti zadovoljena , odnosno da ukoliko su za zadovoljene svih preostalih (m+n-1) jednačina , tada je sigurno zadovoljena i prva jednačina. 17

Dokaz l Levu stranu prve jednačine sistema ograničenja možemo predstaviti u obliku. . . (3. 7. ) l Kako je za svako xij zadovoljeno svih (m+n) jednačina sistema ograničenja, tj. jednakost (3. 7. ) možemo predstaviti u obliku 18

Dokaz prema tome tj. zadovoljena je i prva jednačina sistema ograničenja. 19

Teorema 3. 3. l Teorema 3. 3. Matrica koeficijenata sistema ograničenja transportnog problema ima rang 20

Dokaz l Matricu koeficijenata sistema ograničenja transportnog problema možemo predstaviti u obliku m n 21

Dokaz l l U matrici A ima ukupno (m+n) vrsta i sve su linearno zavisne. Ukoliko saberemo prvih m vrsta matrice A, dobiće se vrsta čiji su svi elementi jedinice. Ukoliko saberemo preostalih n vrsta matrice A, dobiće se vrsta čiji su svi elementi jedinice. Prema tome, ako su p 1, . . . , pm+n vrste matrice A, sledi da je 22

Dokaz l l Ovo znači da svaku vrstu matrice A možemo izraziti u vidu linearne kombinacije ostalih. Na primer, za prvu vrstu je 23

Dokaz l Ukoliko sada iz matrice A isključimo poslednju vrstu, i izračunamo minor (m+n-1)-ve vrste, koji uključuje kolone koeficijenata uz promenljive dobija se 24

l Dokaz 25

Dokaz l Kako je vrednost dobijenog minora različita od nule, to konstatujemo da je , što je trebalo i dokazati. 26

Zaključak l l l U bilo kom bazičnom rešenju mora imati tačno (m+n-1) bazičnih promenljivih. Tabelarno, to znači da će u svakoj tabeli koja reprezentuje neko bazično moguće rešenje biti popunjeno (m+n-1) polja, Preostalih mn-(m+n-1) polja ostaće prazna, odnosno odgovarajuće promenljive će biti jednake nuli. 27

Početno bazično rešenje l Od različitih metoda koji se mogu koristiti za određivanje početnog bazičnog rešenja razmotrićemo tri metoda: l l l Metod severozapadnog ugla Metod minimalnih troškova Vogelov aproksimativni metod 28

Metod severozapadnog ugla l l l Raspoređivanje količina robe za prevoz preko različitih puteva započinjemo iz levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1, 1). Idući dijagonalno, raspoređuju se količine robe u različita polja tabele koja odgovaraju različitim putevima. Postupak se završava nakon iscrpljivanja svih ponuđenih količina robe u pojedinim ishodištima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tražnje pojedinih odredišta. 29

Primer 3. 1. 30

Rešenje 31

Početna tabela 32

Početno bazično rešenje -Metod severozapadnog ugla- 34

Objašnjenje PBR l l l Svih 120 t šećera tražnje prva prodavnica ćedobiti iz prvog skladišta; U drugu prodavnicu treba prevesti 100 t šećera iz prvog i 10 t šećera iz drugog skladišta; U treću prodavnicu treba prevesti svih 430 t potrebnog šećera iz drugog skladišta, Potrebe za šećerom četvrte prodavnice treba zadovoljiti sa 80 t iz drugog i 260 t iz trećeg skladišta. Troškovi transporta takvog rasporeda prevoza šećera iznose 2370 novčanih jedinica. 35

Metod minimalnih troškova l Postupak određivanja početnog bazičnog rešenja metodom minimalnih troškova započinje korišćenjem puta kome odgovaraju najmanji troškovi, pri čemu u odgovarajuće polje tabele unosimo maksimalno moguću količinu (manji od iznosa ponude i tražnje) za prevoz. 36

Početna tabela-Primer 3. 1. 37

1 2 2 38

2 4 m+n-1=6 Z=2250 39

Početno bazično rešenje -Metod min troškova- 40

Vogelov metod l l l Suština ovog metoda sastoji se u izračunavanju potencijalnih gubitaka koji će nastati ukoliko se između dva polja sa minimalnim transportnim troškovima, koja se nalaze u nekoj vrsti (koloni) tabele, koristi ono polje u kome su transportni troškovi veći. Primena ovog metoda obezbeđuje početno raspoređivanje količina robe za prevoz, tj. izračunavanje vrednosti promenljivih bazičnog rešenja koje su najbliže optimalnom rešenju. Ovaj metod garantuje najkraću algoritamsku proceduru određivanja optimalnog programa transporta robe. 41

Vogelov metod l l l I korak: Izračunavanje vrednosti razlika između dva minimalna troška za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izračunate razlike pridružujemo vrstama i kolonama tabele II korak: Određivanje vrste, odnosno kolone kojoj odgovara najveća vrednost razlike. III korak: Rasporediti početnu količinu u polje sa najnižim troškovima koje odgovara vrsti (koloni) sa najvećom izračunatom razlikom. 42

Početna tabela-Primer 3. 1. 43

l Algoritam: 1. Izračunavanje razlika između dva minimalna troška pojedinih vrsta, odnosno kolona tabele. -max razlika je 4, odnosi se na III kolonu -min transportni trošak u III koloni je min(c 13, c 23, c 33)=min(7, 2, 6, )=2 4 odgovara polju (2. 3. ), pa je 44

2. max razlika je 2. -odnosi se na II vrstu -min(c 21, c 22, c 23)=min(1, 3, 4, )=1 -odnosi se na polje (2. 1. ) 3. max razlika je 3 -odnosi se na II kolonu -min (c 12, c 32)=min(4, 7)=4 -odnosi se na polje (1. 2) 2 3 45

4. max razlika je 1. -odnosi se na I kolonu i III vrstu -min(c 11, c 34)=min(2, 1, 2, )=1 -odnosi se na polje (3. 1. ) 1 5. max razlika je 0 -odnosi se na IV kolonu -min (c 14, c 34)=min(2, 2)=2 -odnosi se na polje (3. 4) 0 Z=2100 46

Početno bazično rešenje -Vogelov metod- 47