20 Der Rang einer Matrix Jede m nMatrix

§ 20 Der Rang einer Matrix Jede (m, n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden: wobei (20. 1) Definition: Der Spaltenrang von A ist srg(A) : = rg {A 1, A 2, . . . , An} = dim Span {A 1, A 2, . . . , An}. Bemerkung: Sei (b 1, b 2, . . . , bn) eine geordnete Basis von V, sei (e 1, e 2, . . . , em) die Standardeinheitsbasis von Km und sei f = f(A, b, e) die durch A definierte lineare Abbildung von V nach Km. Folie 1

Kapitel IV, § 20 Dann gilt f(bj) = Aj. Denn wegen ist Also ist der Spaltenrang von A gleich dem Rang der linearen Abbildung f : srg A = dim Span {A 1, A 2, . . . , An} = dim Im f = rg f , da Span {A 1, A 2, . . . , An} = Im f. Analog: Jede (m, n)-Matrix kann auch als ein m-Tupel von Zeilenvektoren geschrieben werden: Folie 2

Kapitel IV, § 20 (20. 2) Definition: Der Zeilenrang von A ist zrg(A) : = rg {A 1, A 2, . . . , Am} = dim Span {A 1, A 2, . . . , Am}. Wir werden zeigen, dass für eine Matrix A stets srg(A) = zrg(A) gilt, dass man also von dem Rang einer Matrix sprechen kann. Als wichtiges Hilfsmittel und auch für andere Zwecke wird die Transponierte AT zu einer Matrix benötigt: (20. 3) Definition: Sei eine (m, n)-Matrix über dem Körper K. Die zu A transponierte Matrix AT – eine (n, m)-Matrix – ist durch definiert. Beispiel: Ein Spaltenvektor X aus Km mit den Komponenten Xj aus K ist in der Matrixnotation auch als Element von Kmx 1 aufzufassen. XT = (X 1, X 2, . . . , Xm) ist dann der entsprechende Zeilenvektor in K 1 xm, wie schon gelegentlich benutzt. Folie 3

Kapitel IV, § 20 (20. 4) Satz: Die Abbildung ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt (AT)T = A. (20. 5) Satz: srg(A) = zrg(A) Zu dem Beweis brauchen wir den Hilfssatz: (20. 6) Hilfssatz: Sei A eine (m, n)-Matrix. A* gehe aus durch eine Vertauschung von zwei Spalten oder von zwei Zeilen hervor. Dann gilt: srg(A) = srg(A*) und zrg(A) = zrg(A*). (20. 7) Definition: Der Rang rg(A) einer (m, n)-Matrix A ist der Spaltenrang oder Zeilenrang von A. Kurz: rg(A) : = srg(A) = zrg(A) (20. 8) Korollar: Für eine (m, n)-Matrix A gilt: Folie 4

Kapitel IV, § 20 (20. 9) Definition: Elementare Umformungen. Sei A eine (m, n)Matrix. Zu den elementaren Umformungen von A gehören: 1 o Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A. 2 o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. 3 o Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A. 4 o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. Eine elementare Umformung von A ist jede Hintereinanderausführung von endlich vielen der Umformungen 1 o-4 o. Zu den elementaren Umformungen von A gehören insbesondere die Vertauschungen von Spalten und damit beliebige Permutationen. Ebenso: Permutationen von Zeilen. (20. 10) Satz: Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang einer Matrix nicht. Folie 5

Kapitel IV, § 20 Mit diesem Invarianzsatz hat man ein wichtiges und effektives Rechenverfahren zur Ermittlung des Ranges einer Matrix zur Hand. (20. 11) Satz: Jede (m, n)-Matrix A kann durch elementare Umformungen auf die Form gebracht werden mit r = rg(A). Hier wird die „Kästchenschreibweise“ benutzt; und E(r) ist die (r, r)Matrix mit lauter „Einsen“ in der Diagonalen und lauter „Nullen“ sonst. Bemerkung: Der Rang einer Matrix ist inbesondere für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung, vgl. die Sätze 16. 5 – 16. 8 ! Folie 6