2 Regresszianalzis Korrelci analzis milyen irny milyen ers

2. Regresszióanalízis Korreláció analízis: milyen irányú, milyen erős összefüggés van két változó között. Regresszióanalízis: kvantitatív kapcsolat meghatározása a két változó között. Pl. regressziós egyenes egyenlete.

Korreláció Szórási diagram: két változó közötti kapcsolat grafikai megjelenítése erős pozitív gyenge negatív nincs korreláció

Kovariancia: két változó együtt mozgása Korrelációs együttható: két változó kapcsolata erősségének a mérőszáma (Pearson-féle korrelációs együttható)

A korrelációs együttható megmutatja a két változó kapcsolatának a jellegét • r =+1 tökéletes pozitív korreláció • +1 >r > 0 pozitív kapcsolat • r = 0 nincs kapcsolat • 0 > r > -1 negatív kapcsolat • r = -1 tökéletes negatív korreláció

Szórási diagram a kézszorítás, illetve a kar erősségének összefüggéséről, r = 0. 63

A korreláció szignifikancia vizsgálata Nullhipotézis: H 0: r = 0 ellenhipotézis: H 1: r ≠ 0 r: a sokaság korrelációs együtthatója Ha igaz a nullhipotézis, a következő statisztika t-eloszlású n-2 szabadsági fokkal:

2 -1 példa. A dohányzás és az élettartam kapcsolatát vizsgálták. 15, 50 -nél idősebb ember esetén követték az átlag napi cigarettaszámot, ill. az életkort. Levonhatjuk-e azt a következtetést, hogy az életkor független a dohányzástól? H 0: r = 0 2. 16 < 3. 67 így a nullhipotézist elutasítjuk, a dohányzás és az élettartam között korreláció van, a dohányzás csökkenti az élettartamot. .

Regresszió A vegyészmérnöki gyakorlatban a regresszióanalízis széleskörűen használt módszer az adatok kapcsolatának meghatározására. Például egy reaktor esetén regressziós módszerekkel meghatározhatunk egyenletet, amely kifejezi, hogyan függ a termék kihozatala a bemenő koncentrációtól, hőmérséklettől, nyomástól és a tartózkodási időtől. Ha nem ismerjük az egyes változók közötti elméleti összefüggést, akkor feltételezünk egy függvényt, és azt illesztjük a mérési adatokra. Gyakran lineáris összefüggést feltételezünk.

Lineáris regresszió (egyenes illesztése) x: független változó Y : valós (elméleti vagy várható) értéke a függő változónak Y függvénye x-nek, p. l. lineáris regresszió esetén: Y(x): feltételezett összefüggés b 0, b 1 paraméterekkel y: a függő változó mért értéke e : mérési hiba becslés Y(x)-re

A feladat az, hogy egy minta alapján meghatározzuk a b 0 és b 1 becslést az ismeretlen b 0 és b 1 paraméterekre. Leggyakoribb megoldás: legkisebb négyzetek módszere (method of least squares). A mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét (hiba, maradék vagy reziduális négyzetösszeg) minimalizálja.

A minimum meghatározásához a megfelelő parciális deriváltakat egyenlővé tesszük 0 -val:

Ezeknek az ún. normál egyenleteknek a megoldása: A b 1 együttható a következő alakban is kifejezhető:

Négyzetösszegek SST = SSE + SSR SST : teljes négyzetösszeg SSE : hiba vagy reziduális négyzetösszeg SSR : regressziós négyzetösszeg

Determinációs együttható SST = SSE + SSR A determinációs együttható, R 2, a függő változó változásának azon aránya, amely magyarázható a független változó változásával.

2 -2. példa. Illesszen egyenest az alábbi mérési adatokra.

Excel megoldás ÖSSZESÍTŐ TÁBLA Regressziós statisztika r értéke 0. 950616043 r-négyzet 0. 903670862 Korrigált r-négyzet 0. 879588577 Standard hiba 0. 621355269 Megfigyelések 6 VARIANCIAANALÍZIS Regresszió Maradék Összesen Tengelymetszet X változó 1 df 1 4 5 sr: reziduális szórás Az F-próba segítségével megállapítható, hogy a független és a függő változók között megfigyelt kapcsolat véletlenszerű-e. SS MS F F szignifikanciája 14. 48747052 14. 4875 37. 52 0. 003597945 1. 544329481 0. 38608 16. 0318 Koefficiensek Standard hiba t érték p-érték 0. 051957547 0. 504033217 0. 10308 0. 923 32. 01650943 5. 22658099 6. 12571 0. 004 Alsó 95% Felső 95% -1. 347463012 1. 45138 17. 50519423 46. 5278 Konfidencia intervallum b 0 -ra és b 1 -re. Próba, hogy zéró-e a tengelymetszet (b 0). Próba, hogy zéró-e a meredekség (b 1).

Mérések sorrendje