2 Introduction au traitement des signaux alatoires Introduction

2 - Introduction au traitement des signaux aléatoires • • • Introduction Processus aléatoire Corrélation, autocorrélation. . . Stationnarité, ergodicité Densité spectrale Traitement du signal 4 GE 39

2 -1 Introduction • Signaux aléatoires : bruit électronique, le signal de parole. . . • Signal déterministe information Quand on connaît le passé, la probabilité d’apparition d’un niveau donné à l’instant t est soit nulle, soit certaine (=1). • L’information est liée à un certain degré d’incertitude, d’aléatoire. • Signal déterministe formule définissant parfaitement le signal. • Signal aléatoire paramètres statistiques définissant les POSSIBILITES d’évolution du signal. Valeur future exacte du signal Traitement du signal 4 GE 40

Introduction • Paramètres statistiques d’un signal aléatoire: – Moyenne, variance, autocorrélation, moments, . . . • Ces paramètres peuvent être eux mêmes aléatoires (non stationnaire) – exemple: le signal de parole Traitement du signal 4 GE 41

Introduction • L’ «astuce» du temps différé: – on enregistre et on rejoue le signal. – le signal n’est plus aléatoire. Il est parfaitement connu. • Oui, mais. . – traitement en temps réel, futur inconnu – généraliser un traitement à des signaux futurs «presques» identiques à ceux que l’on posséde déjà Le passé ne permet pas de déterminer complètement l’avenir. Traitement du signal 4 GE 42

Introduction • Signal aléatoire = Bruit • Exemple – Transmettre la parole sur des cables d’alimentation secteur 50 Hz • Le signal important est la parole, c’est un signal aléatoire • Le bruit génant est déterministe, c’est une sinusoïde à 50 Hz • Exemple – Réception d’un signal numérique au bout d’une ligne de transmission • Le signal numérique est aléatoire • Le bruit sur la ligne de transmission est aussi aléatoire Traitement du signal 4 GE 43

2 -2 Processus aléatoire ou stochastique • Processus stochastique = famille de fonction aléatoire X(t, u) • t est une variable réelle (par exemple le temps) • u est un ensemble d’événements • t et u peuvent être des variables continues ou discrètes • X(t, u) peut prendre des valeurs continues ou discrètes, scalaires ou vectorielles. Traitement du signal 4 GE 44

Exemple 1 • Bruit thermique dans un ensemble de résistances R={Ri , i=1, N} de même valeur ohmique R 1 tk t R 2 t R 3 t • t est une variable continue, R est une variable discrète • X(t, Ri) est une représentation particulière du processus X(t, R) pour l’événement «Ri a été choisie» Traitement du signal 4 GE 45

Exemple 1 (suite) • Pour un instant tk donné, X(tk, R) est une variable aléatoire • Le processus aléatoire prend des valeurs continues, scalaires et réelles. • Si les signaux étaient numérisés, la variable t deviendrait discrète, ainsi que les valeurs prises par le processus (à cause de la quantification du CAN) • Une réalisation particulière X(t, Ri) n’est pas un signal déterministe. • Tous les signaux sont à priori différents, mais le phénomène physique à l’origine du signal est le même pour toutes les résistances Trouver des lois statistiques communes Traitement du signal 4 GE 46

Exemple 2 • Signal sinusoïdal à phase aléatoire phase u variable aléatoire uniformément répartie entre 0 et 2 p X(t, u) t u est à valeur réelle continue X(t, u) est à valeur continue, scalaire et réelle Un signal particulier X(t, ui) est déterministe. Traitement du signal 4 GE 47

Exemple 2 (suite) • Densité de probabilité de la phase u Pour un instant donné tk, calcul des moments statistiques de la variable aléatoire X(tk, u) • Espérance mathématique • Variance Traitement du signal 4 GE 48

Exemple 2 (suite) Pour une valeur particulière ui (événement) de la phase, on peut calculer des paramètres temporels du signal X(t, ui) • Moyenne temporelle • Variance temporelle, carré de la valeur efficace Remarque: On obtient ici des valeurs identiques à l’éspérance et à la variance statistiques Traitement du signal 4 GE 49

Caractérisation d’un processus aléatoire. Lois de probabilité. • Statistiques du premier ordre – Fonction de répartition et densité de probabilité pour un tk donné • L’éspérance mathématique (n=1) et les moments d’ordre supérieur sont définis par Remarque: Les moments peuvent dépendre de tk Traitement du signal 4 GE 50

Exemple: Processus gaussien • Un processus, ou signal, ou bruit, gaussien posséde une densité de probabilité définie par une loi normale m étant la moyenne et s l’écart-type s=1 m=0 Traitement du signal 4 GE 51

Exemple: processus gaussien La densité de probabilité représente la statistique des amplitudes du signal à un instant donné, pour l’ensemble des réalisations possibles du processus. L’allure temporelle des réalisations d’un processus gaussien ne ressemble pas forcément à un bruit comme ci dessous. Traitement du signal 4 GE 52

Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire La phase ayant une densité de probabilité uniforme, les statistiques ne dépendent pas de l’instant tk. Par commodité on se place à tk=T/2=0. 5 T a T x 1 On cherche la fonction de répartition FX(x 1) = FX(0. 5 T, u) = Prob ( X(0. 5 T, u) < x 1) C’est à dire FX(x 1) = Prob (u > -arcos(-x 1 /a) et u < arcos(-x 1 /a) ) Traitement du signal 4 GE 53

Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (suite) C’est à dire La densité de probabilité s’obtient par dérivation de la fonction de répartition -a a Traitement du signal 4 GE x 54

Caractérisation des processus aléatoires • Statistique du deuxième ordre – Relation entre les statistiques prises à deux instants t 1 et t 2 différents – On considère deux variables aléatoires X(t 1, u) et X(t 2, u) • Fonction de répartition conjointe • Densité de probabilité • Si les deux variables aléatoires sont indépendantes (Ce qui se passe à t 1 ne dépend pas de ce qui se passe à t 2) Traitement du signal 4 GE 55

2 -3 Corrélation, Autocorrélation. . . • Signaux déterministes – Signaux à énergie finie – Signaux à puissance finie Mesure de ressemblance Autocorrélation temporelle • Processus aléatoires Statistique du second ordre Caractérisation fréquentielle des signaux aléatoires (Densité spectrale) Autocorrélation statistique Traitement du signal 4 GE 56

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à énergie finie • Energie d’un signal continu ou discret • Signaux transitoires • Signaux de durée finie • Existence de la transformée de Fourier Dans la réalité, en pratique, tous les signaux sont à énergie finie. Exemples: x(t) = Rect(t) énergie finie x(t) = a constant n’est pas à énergie finie x(t) = V sin(2 pft) n’est pas à énergie finie Traitement du signal 4 GE 57

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à énergie finie • Autocorrélation temporelle • • Si x(t) est réel, l’autocorrélation est réelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz Analogie avec la convolution C’est un produit scalaire, projection de x*(t) sur x(t) décalé de t • Pour t = 0, on retrouve l’énergie du signal Rxx(0) = Ex • Rxx(t) est maximale en t =0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même. Traitement du signal 4 GE 58

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à énergie finie • L’autocorrélation posséde la propriétés de symétrie hermitique Si le signal est réel, l’autocorrélation est donc réelle est paire. • Exemple x(t) = Rect (t/T) Rxx(t)=T Tri(t/T) Rect(t/T) 1 -T/2 Rxx(t) T t -T Traitement du signal 4 GE T t 59

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à énergie finie • Intercorrélation • Symétrie hermitique (Attention à l’inversion de x et y dans le deuxième membre des équations) • Mesure du degrè de ressemblance entre deux signaux en fonction d’un décalage • Projection de x(t) sur y(t+t), produit scalaire Traitement du signal 4 GE 60

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à énergie finie • Exemple d’intercorrélation x(t) 1 y(t) 1 -T -T/2 t -1 T t Rxy(t) T -3 T/2 -T/2 3 T/2 t -T Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) (ils sont orthogonaux, produit scalaire nul). Traitement du signal 4 GE 61

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à puissance finie • Approximation de signaux réels • Exemples – Signal continu x(t)=a – Signal sinusoïdal x(t)=V Sin(2 pft) – Signaux aléatoires, signaux périodiques, impulsion de Dirac, échelon unité. . . • Puissance finie • Signal à énergie finie = puissance nulle • Signal à puissance finie = énergie infinie Traitement du signal 4 GE 62

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à puissance finie • Autocorrélation temporelle, intercorrélation Problème de convergence des intégrales et des sommes • Notation • Dimensions: V² ou A² • Autocorrélation: y(t)=x(t) dans les formules précédentes Traitement du signal 4 GE 63

Corrélation, autocorrélation. . . Signaux à puissance finie • Autocorrélation des signaux périodiques Le calcul sur une seule période suffit L’autocorrélation d’un signal périodique est elle même périodique. Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à lui même, décalé d’une ou plusieurs périodes. Traitement du signal 4 GE 64

Corrélation, autocorrélation. . . Processus aléatoires • On peut calculer l’autocorrélation temporelle sur une réalisation X(t, ui) d’un processus aléatoire. On se retrouve alors dans le cas précédent. CE N’EST PAS CE QUI NOUS INTERESSE ICI !!! • On cherche une définition au sens statistique. Observation d’un processus aléatoire X(t, u) à deux instant t 1 et t 2. Statistique du second ordre, moment conjoint Autocorrélation statistique Traitement du signal 4 GE 65

Corrélation, autocorrélation. . . Processus aléatoires • Dans le cas d’un processus réel continu • Fonction d’autocovariance Moment conjoint des variables aléatoires centrées X(t 1)-mx(t 1) et X(t 2)-mx(t 2), mx(t) moyenne du processus aléatoire à l'instant t • Quand t 1=t 2, on obtient la variance du processus aléatoire en t 1. Traitement du signal 4 GE 66

Corrélation, autocorrélation. . . Processus aléatoires • Remarques: 1) On obtient des fonctions bidimensionnelles des variables t 1 et t 2. Dans le cas d’un processus échantillonné discret, on obtiendra des matrices d’autocorrélation et d’autocovariance. 2) Si ces fonctions ne dépendent que de l’écart temporel t 1 -t 2, les fonctions d'autocorrélation et d'autocovariance sont monodimensionnelles et dépendent du temps t= t 1 -t 2. Traitement du signal 4 GE 67

Corrélation, autocorrélation. . . Processus aléatoires • Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire u étant une variable aléatoire uniformément répartie, la moyenne du premier terme est nulle. (Voir la densité de probabilité du signal sinusoidal à phase aléatoire) On obtient C’est une fonction périodique, ne dépendant que de l’écart t 1 -t 2. Pour t 1=t 2, on retrouve la variance du processus aléatoire. Traitement du signal 4 GE 68

2 -4 Stationnarité, ergodicité • Processus stationnaire aus sens strict Les propriétés statistiques sont invariantes dans le temps Les statistiques du second ordre ne dépendent plus que de l’écart t=t 1 -t 2 Densité conjointe du second ordre Autocorélation Pour un processus réel Traitement du signal 4 GE 69

Stationnarité, ergodicité • Processus stationnaire (au sens large) Espérance mathématique constante Autocorrélation dépendante de t=t 1 -t 2 Symétrie hermitique Stationnaire au sens strict Stationnaire au sens large L’inverse n’est pas vrai • Fonction d’autocorrélation bornée par la puissance moyenne du processus Traitement du signal 4 GE 70

Stationnarité, ergodicité • Processus ergodique au sens strict Moments statistisques = Moments temporels • Processus ergodique (au sens large) Egalité des Moyennes statistiques et temporelles ainsi que des fonctions d’autocorrélation Moyenne Traitement du signal 4 GE 71

Stationnarité, ergodicité Fonctions d’autocorrélation statistique et temporelle • Ergodique (au sens large) Stationnaire (au sens large) L’inverse n’est pas vrai. • Signaux stationnaires ergodiques Estimation des paramètres statistiques à partir des paramètres temporels Traitement du signal 4 GE 72

2 -5 Densité spectrale • Signaux déterministes Transformée de Fourier Module et phase Interprétation fréquentielle • Signaux aléatoires Transformée de Fourier ? ? (oui, mais pour une réalisation X(t, ui) ) • Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire X(t, u)=a sin(2 pft+u) Intuitivement: Une fréquence f d’amplitude a. Quelle phase ? elle est aléatoire. Traitement du signal 4 GE 73

Densité spectrale • Contenu fréquentiel des processus aléatoires défini par l’énergie ou la puissance (carré de l’amplitude) Densité spectrale d’énergie ou de puissance • Représentation de la répartition de l’énergie ou de la puissance d’un signal en fonction de la fréquence • Intuitivement: relation entre densité spectrale et spectre (transformée de Fourier) pour les signaux déterministes ? ? ? Traitement du signal 4 GE 74

Densité spectrale • Signaux à énergie finie Densité spectrale d’énergie (DSE) Fonction réelle. Fonction paire si le signal est réel DSE = Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation temporelle Dimension V²s/Hz ou A²s/Hz Traitement du signal 4 GE 75

Densité spectrale Energie du signal Transformée de Fourier inverse de la DSE Sxx(f) est bien une densité spectrale Traitement du signal 4 GE 76

Densité spectrale • Signaux à puissance finie Densité spectrale de puissance (DSP) Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation temporelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz Relation avec la transformée de Fourier ! T. F. de x(t) limité à une durée T Traitement du signal 4 GE 77

Densité spectrale • Puissance du signal Sxx(f) est bien une densité de puissance Traitement du signal 4 GE 78

Densité spectrale • Processus aléatoire stationnaire Densité spectrale de puissance (Théorème de Wiener-Khintchine) Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation statistique • Processus aléatoire ergodique Estimation de la fonction d’autocorrélation statistique donc de la DSP à partir de la fonction d’autocorrélation temporelle des réalisations disponibles du processus aléatoire. Traitement du signal 4 GE 79

Densité spectrale • Exemple: Signal sinusoïdal à phase aléatoire Autocorrélation statistique (transp. 30): Densité spectrale de puissance Autocorrélation temporelle (pour une réalisation donnée ui de la phase) (T=1/f 0 ) Le signal est donc ergodique (au sens large) Traitement du signal 4 GE 80