2 Discretetime Signals and Systems CESd SP EEET

2 Discrete-time Signals and Systems �� ผศ. ดร. พระพล ยวภษตานนท ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส CESd. SP

Continuous v. s. Discrete-time Signals CESd. SP �� DSP �� Signals and Systems ��

Discrete-Time Continuous Amplitude • ในคอรสน เราสนใจเฉพาะสญญาณทเปน Discrete-Time, Continuous Amplitude เทานน CESd. SP EEET 0485

�� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof.

Discrete-Time Signal from A/D Converter • ในทางปฏบตเราไดสญญาณ จาก A/D Converter Discrete-time A/D �� CESd.

DSP System Block Diagram A/D CESd. SP DSP Processor EEET 0485 Digital Signal Processing

Sampling • การสมสญญาณ x(t) เพอทำใหไดสญญาณสมดวยควา มถ = x(n) t . . . • ผลลพทคอ

Combination of Sampling • สญญาณ x(n) = สญญาณสม สญญาณ “x(t)” “s(n)” คณ t n

Elements of the Sampling Signal • S(n) นนประกอบจากสวนยอยๆ + + อมพลส n s(n) n

An Impulse is Delta Function • อมพลส คอ เดลตาฟงกชน ใหคา “ 1” เมอ n=0

Shifted Delta Function • อมพลสนำมารวมกนไดเปน ไดจากการเลอนคา s(n) �� 1 n 0 �� 1 0

Summing of Shifted Delta Function + + + 0 T 2 T 3 T

Sampling Signals= Summing of Delta function • สญญาณทเปนสญญาณสมนนประกอบด วย เดลตาฟงกชนทมคาการเลอนแตกตาง กน • หรอ เขยนใหมเปน

Discrete-time Signal x(n) • x(n) สรางจาก ผลคณของ x(t) และ s(n) เมอ t=n. T t

DSP System Block Diagram • ระบบ DSP ทงายทสด A/D CESd. SP แสดงดงขางลาง DSP Processor

A/D Part in DSP • สวน A/D DSP Processor Hold D/A Quantizer Sample and

A/D Converter • ระบบ DSP มสวนประกอบ Hold Quantizer A/D Converter DSP Processor D/A Sample

�� Digital Signal Processor A/D DSP D/A �� DSP CESd. SP EEET 0485 Digital

�� SUN �� Solar Cell Panel CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing

Example: System 1 • Example 2. 2. 1 from Proakis’s Text • จงหา y(n)

Example: System 2 �� n=0 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing

Example: System 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com

Example: System 4 • • Accumulator CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http:

�� (Linear Shift-invariant (LSI) Systems) • เชงเสน (Linear) หมายถง ถา ระบบ T[ ]

Example: Linear I • Example 2. 2. 5 จงหาวาระบบขางลางน ระบบใดเปนหรอไมเปนเชงเสน CESd. SP EEET 0485

Example: Linear 2 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Example: Linear 3 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Example: Linear 4 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Example: Linear 5 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Example: Linear 6 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Shift-invariant 1 • ไมแปรตามการเลอน (Shift-invariant) หมายถง หาก y(n) เปนผลตอบจาก x(n) �� k �� y(n)

Shift-invariant 2 • ลองเลอน y(n) ไป k จะได y(n-k) และหาก • �� (Shift-invariant) •

Example: Shift-Invariant 1 • Example 2. 2. 4 จงหาวาระบบใดเปน invariant CESd. SP EEET 0485

Example: Shift-Invariant 2 • �� y(n) �� x(n) �� k �� Shift-invariant CESd. SP

Example: Shift-Invariant 3 �� n �� x(n) �� • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n)

Example: Shift-Invariant 4 • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n) ไป k Shift-varying CESd. SP

Example: Shift-Invariant 5 • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n) ไป k Shift-varying CESd. SP

�� Difference Equation • สมการของระบบจะเขยนในรปทวไปของสมการผ ลตาง CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http:

n=0, n=1 • n=0 • n=1 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http:

n=2 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof.

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr.

• ให y(-1) =0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc.

• แทนคา CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com

�� (Convolution( CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst.

FIR • หากระบบมเพยง • แตโดยทวไปเราเขยนระบบในรปของผลตอบสน องอมพลส (Impulse Response ( CESd. SP EEET 0485 Digital

�� Convolution (revisited) • จาก • สงเกตวา ดชน k เปนคาลบ ซงหมายถงการกลบดาน CESd. SP EEET

�� (Convolution) �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com

System with Delta function • สำหรบระบบทเปน CESd. SP เดลตา ฟงกชน สมดวยควา มถ = ระบบ

Sampled Signal 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc.

System with Delayed Delta function • สำหรบระบบทเปน ทมการหนวงเวลา CESd. SP เดลตา ฟงกชน สมดวยควา มถ

Delayed Signal 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc.

Convolved Signal 0 12 3 + 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital

�� = CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst.

Example Convolution • ตวอยางการประสาน • คำนวณผลการประสานเมอ CESd. SP n=-1 ถง 3 EEET 0485 Digital

• จดเรมตนท • • • n= -1 ดจาก x(n) คำนวณ y(n) n =

n = -1 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com

n =0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst.

�� y(n) dsp_2_4 �� y(n) �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http:

�� convolution �� N=0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

�� • Cumulative Property • Associative property • Distributive property • CESd. SP EEET

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress.

Slides: 82

Download presentation

2 Discrete-time Signals and Systems �� ผศ. ดร. พระพล ยวภษตานนท ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -1

Continuous v. s. Discrete-time Signals CESd. SP �� DSP �� Signals and Systems �� DSP �� DSP 2 -3 �� EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon

Discrete-Time Continuous Amplitude • ในคอรสน เราสนใจเฉพาะสญญาณทเปน Discrete-Time, Continuous Amplitude เทานน CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -4

�� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -5

Discrete-Time Signal from A/D Converter • ในทางปฏบตเราไดสญญาณ จาก A/D Converter Discrete-time A/D �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon �� DSP 2 -6

DSP System Block Diagram A/D CESd. SP DSP Processor EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon D/A DSP 2 -7

Sampling • การสมสญญาณ x(t) เพอทำใหไดสญญาณสมดวยควา มถ = x(n) t . . . • ผลลพทคอ CESd. SP x(n): EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -8

Combination of Sampling • สญญาณ x(n) = สญญาณสม สญญาณ “x(t)” “s(n)” คณ t n n T • S(n) ประกอบจากสวนยอย CESd. SP คอ อมพลส EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -9

Elements of the Sampling Signal • S(n) นนประกอบจากสวนยอยๆ + + อมพลส n s(n) n = n T n + CESd. SP T 2 T 3 T n EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -10

An Impulse is Delta Function • อมพลส คอ เดลตาฟงกชน ใหคา “ 1” เมอ n=0 • และ ใหคา “ 0” เมอ 1 n เปนคาอนๆ �� 0 n • เขยนเปน CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -11

Shifted Delta Function • อมพลสนำมารวมกนไดเปน ไดจากการเลอนคา s(n) �� 1 n 0 �� 1 0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon 1 n DSP 2 -12

Summing of Shifted Delta Function + + + 0 T 2 T 3 T CESd. SP n + n n = + + n n EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -13

Sampling Signals= Summing of Delta function • สญญาณทเปนสญญาณสมนนประกอบด วย เดลตาฟงกชนทมคาการเลอนแตกตาง กน • หรอ เขยนใหมเปน CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -14

Discrete-time Signal x(n) • x(n) สรางจาก ผลคณของ x(t) และ s(n) เมอ t=n. T t CESd. SP … = n EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon n DSP 2 -15

DSP System Block Diagram • ระบบ DSP ทงายทสด A/D CESd. SP แสดงดงขางลาง DSP Processor EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon D/A DSP 2 -16

A/D Part in DSP • สวน A/D DSP Processor Hold D/A Quantizer Sample and Hold CESd. SP A/D Converter EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -17

A/D Converter • ระบบ DSP มสวนประกอบ Hold Quantizer A/D Converter DSP Processor D/A Sample and Hold A/D Converter CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -18

�� Digital Signal Processor A/D DSP D/A �� DSP CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -19

�� SUN �� Solar Cell Panel CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -21

Example: System 1 • Example 2. 2. 1 from Proakis’s Text • จงหา y(n) ในกรณ CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -22

Example: System 2 �� n=0 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -23

Example: System 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -24

Example: System 4 • • Accumulator CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -25

�� (Linear Shift-invariant (LSI) Systems) • เชงเสน (Linear) หมายถง ถา ระบบ T[ ] ใหผลลพธเปน • เมอเปลยนอนพทเปนดงรป CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -26

Example: Linear I • Example 2. 2. 5 จงหาวาระบบขางลางน ระบบใดเปนหรอไมเปนเชงเสน CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -27

Example: Linear 2 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -28

Example: Linear 3 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -29

Example: Linear 4 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -30

Example: Linear 5 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -31

Example: Linear 6 �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -32

Shift-invariant 1 • ไมแปรตามการเลอน (Shift-invariant) หมายถง หาก y(n) เปนผลตอบจาก x(n) �� k �� y(n) �� y(n, k) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -33

Shift-invariant 2 • ลองเลอน y(n) ไป k จะได y(n-k) และหาก • �� (Shift-invariant) • �� (Shift-varying) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -34

Example: Shift-Invariant 1 • Example 2. 2. 4 จงหาวาระบบใดเปน invariant CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon Shift- DSP 2 -35

Example: Shift-Invariant 2 • �� y(n) �� x(n) �� k �� Shift-invariant CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -36

Example: Shift-Invariant 3 �� n �� x(n) �� • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n) ไป k Shift-varying CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -37

Example: Shift-Invariant 4 • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n) ไป k Shift-varying CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -38

Example: Shift-Invariant 5 • เมอเลอน แซมเปล y(n) ทไดจาก x(n) ไป k Shift-varying CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -39

�� Difference Equation • สมการของระบบจะเขยนในรปทวไปของสมการผ ลตาง CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -40

�� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -41

n=0, n=1 • n=0 • n=1 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -42

n=2 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -43

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -44

• ให y(-1) =0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -45

• แทนคา CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -46

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -47

�� (Convolution( CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -48

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -49

FIR • หากระบบมเพยง • แตโดยทวไปเราเขยนระบบในรปของผลตอบสน องอมพลส (Impulse Response ( CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -50

�� (Convolution( CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -51

�� Convolution (revisited) • จาก • สงเกตวา ดชน k เปนคาลบ ซงหมายถงการกลบดาน CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -52

�� x(n) �� =0 �� 1 �� h(0) + �� h(1) �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -53

�� (Convolution) �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -54

System with Delta function • สำหรบระบบทเปน CESd. SP เดลตา ฟงกชน สมดวยควา มถ = ระบบ EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -55

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -56

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -57

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -58

Sampled Signal 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon n n DSP 2 -59

System with Delayed Delta function • สำหรบระบบทเปน ทมการหนวงเวลา CESd. SP เดลตา ฟงกชน สมดวยควา มถ = ระบบ EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -60

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -61

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -62

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -63

Delayed Signal 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon n n DSP 2 -64

Convolved Signal 0 12 3 + 0 12 3 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -66

�� = CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -68

Example Convolution • ตวอยางการประสาน • คำนวณผลการประสานเมอ CESd. SP n=-1 ถง 3 EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -69

• จดเรมตนท • • • n= -1 ดจาก x(n) คำนวณ y(n) n = -1 n=0 n=1 n=2 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -70

n = -1 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -71

n =0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -72

�� y(n) dsp_2_4 �� y(n) �� CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -73

�� convolution �� N=0 CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -74

CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -75

�� • Cumulative Property • Associative property • Distributive property • CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -76

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -77

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -78

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -79

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -80

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -81

�� Ch. 2 (Proakis) CESd. SP EEET 0485 Digital Signal Processing http: //embedsigproc. wordpress. com Asst. Prof. Dr. P. Yuvapoositanon DSP 2 -82