2 Dibujo tcnico Trazado de tangencias Trazado de

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de circunferencias sin conocer el radio ropiedades de las tangencias Propiedades Casos de circunferencia tangentes Caso 1: (ppp) Caso 2: (ppr)Caso 4: (prr) Caso 3: (prr) Caso 5: (rrr) Caso 6: (ppc)Caso 8: (prc) Caso 11: (pcc) p: pasa por punto Caso 10: Caso 7: (prc) (pcc) r: tangente a recta Caso 12: (ccc) Caso 9: c: tangente a circunferencia (pcc) Activar con Click Ayuda Salir

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias 1. Trazado de tangencias sin conocer el radio Propiedades de las tangencias O O 1 O 2 T r T Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O 1 O 2 Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta B s T 2 O O A A Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz del segmento T 1 r Si una circunferencia es tangente a dos rectas, el centro está en la bisectriz Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencia que pasa por tres puntos (ppp) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. N O P Dados los puntos M, N y P: M 1. Se halla la mediatriz del segmento MN 2. Se halla la mediatriz del segmento NP 3. El punto O de intersección de las dos mediatrices de MN y de NP es el centro de la circunferencia Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. O 1 A m O B F C O 2 r E A H D B G J r Los puntos A y B son exteriores a r 1. Se traza la circunferencia de diámetro AB 2. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r 3. Se trazan las tangentes desde D obteniendo Fy. G 4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución El punto B pertenece a r 1. Por B se traza la perpendicular a la recta 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 3. El punto O es el centro de la circunferencia solución Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Punto A exterior a las rectas r y s 1. Se traza m, bisectriz de r y s L 2. Hallamos B, simétrico de A respecto de la bisectriz m s 3. Se traza la circunferencia de diámetro AB 4. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r 5. Se trazan las tangentes desde D a la circunferencia obteniendo F y G 4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución O 2 A K C G O 1 m B F E H r D J Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. s O 1 t A O 2 r B C Punto A sobre la recta s 1. Por A se traza la recta t perpendicular a la recta s 2. Se trazan las bisectrices interior y exterior del ángulo que forman las rectas r y s 3. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias solución 4. Los puntos de tangencia B y C se hallan trazando por O 1 y O 2 las perpendiculares a la recta r Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres rectas (rrr) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. s t O 3 C O 2 O 1 r A B O 4 Sean las rectas r, s y t 1. Se trazan las bisectrices interiores y exteriores de los ángulos que forman las tres rectas 2. Las bisectrices interiores se cortan en el punto O 1 3. Las bisectrices exteriores se cortan en los puntos O 2, O 3 y O 4 4. Los puntos de tangencia se hallan trazando desde O 1, O 2, O 3 y O 4 las perpendiculares a cada una de las tres rectas Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc) RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. A O 1 C H D O 2 O 1 B m B O E r O G F A J Los puntos A y B son exteriores 1. Se traza la circunferencia de diámetro AB obteniendo D y E como intersección 2. Se halla la intersección de la recta AB con la recta DE obteniendo el punto F 3. Se trazan tangentes desde F a la circunferencia dato obteniendo H y J 4. Los puntos O 1 y O 2 están sobre r, mediatriz de AB, y alineados con HO y con JO respectivamente Un punto esta situado en la circunferencia 1. Se traza la recta m que une O y B 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 3. El punto de intersección entre la recta m y la mediatriz, O 1, es el centro de la circunferencia Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc) El punto A es exterior C 1. Se traza por O una perpendicular a la recta dada obteniendo los puntos B, C y D O 2. Se traza la circunferencia de centro E que pasa por A, B y D N L B 3. La recta AC corta a esta circunferencia en el punto F F M 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por dos puntos, A y F, y son tangentes a una recta r (caso ya resuelto) H K A E r D I G J Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc) O 1 s R D m O 1 m O O A B E O 2 R r A C B D r R C El punto A está en la recta 1. Se traza la perpendicular a r por A 2. Sobre m se traslada el radio R 3. Se trazan las mediatrices de OB y OC 4. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias El punto A está en la circunferencia 1. Se une O con A y se traza la tangente s 2. Se trazan las bisectrices del ángulo que forman r y s 3. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) O' O' O' F G B D C N H Q O P O'' K E O 2 O 1 J M A L El punto A es exterior 1. Se traza recta O 1 O 2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección 2. Se trazan dos radios paralelos desde O 1 y O 2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O 1 O 2 3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y D con la recta AH 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto) Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) El punto A es exterior 1. Se traza la recta O 1 O 2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección F N J O' B P O 1 M C H Q O 2 D O G A O'' E 2. Se trazan radios paralelos en sentido contrario desde O 1 O 2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O 1 O 2 3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y E con la recta AH 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto) Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) C a R O O 1 El punto M está sobre una circunferencia B 1. Se traza la recta m que une O’ y M M 2. Sobre la recta m y desde M se traslada el radio de la otra circunferencia de centro O obteniendo los puntos A y B A D b 3. Se trazan las mediatrices de OA y de OB O' m 4. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias O 2 Inicio

Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres circunferencias: Problema de Apolonio (ccc) R'R R O R'' -R R' O' R'' Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ 1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’-R y R’’-R O'' La solución se reduce a trazar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones) R R'+ R +R O R'' 2 R' O' R'' O'' 2. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’+R y R’’+R La solución se reduce a hallar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones) Inicio

2 Dibujo técnico. Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc) Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ m O F E C C' O' H L M O 1 N A J G I D B O 2 O'' K Hallamos de las soluciones 1. Se trazan con centro O’ y O’’ las circunferencias de radios R’ - R y R’’ - R 2. Trazamos radios paralelos O’C y O’’D, y hallamos E, intersección de CD y O’O’’ 3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A, B y O que corta a la recta OE en el punto F 4. Trazamos una circunferencia que pase por los puntos O y F y que corte a la de centro O’’ hallando los puntos B y G 5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde donde se hallan las tangencias en K y J 6. Donde se cortan O’’J y O’’K con la mediatriz m de OF obtenemos los centros de la solución Inicio