2 2 Geometrija in merjenje 2 2 1

2. 2 Geometrija in merjenje 2. 2. 1 Kratko o pouku geometrije Geometrija ima pomembno mesto v matematiki, ker: • omogoča raziskovanje fizičnega sveta, • se ukvarja z vizualizacijo, risanjem in konstruiranjem figur, • omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami po sebi niso geometrijski, • ker je sama po sebi primer matematičnega sistema in • ker je estetska.

• http: //www. mcescher. com/ • http: //www. geocities. com/mojsplet 8/v en 32 -prevare/prevare 2. html

Geometrija v naši osnovni šoli = učenje o geometrijskih pojmih po načelu 'korak za korakom‘. Katere prostore, poleg Evklidskega, še poznamo?

Lobachevsky, Bolyai Riemann

• Topologija: panoga geometrije, ki obravnava topološke lastnosti geometričnih figur, to pomeni take lastnosti, ki se ohranjajo pri zveznih preslikavah (preslikava ne povzroči nobenih pretrganj). • Möbiusov trak: primer topološke ploskve

• Kleinov program: razvrstitev geometrij glede na transformacije

Fraktalna geometrija http: //colos 1. fri. uni-lj. si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/whai. Is. Fractal. html http: //colos 1. fri. unilj. si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/CREATING_FRACTALS/creating_fractals. html

Raziskave Piageta: prostorska predstavljivost pri otroku se prične z zaznavanjem preprostih topoloških relacij (trileten otrok nariše kvadrat, trikotnik kot krog (vsi trije so topološko ekvivalentni)), nato s projekcijo in nazadnje z Evklidskim prostorom. Koncept projekcije doda konceptu topologije ‘pogled na stvar’ (predmet). V Evklidskem prostoru pa se otrok ukvarja z razdaljami oz. merjenjem.

Topološko ekvivalentni. Pa jih otrok res zazna tako? Vir: Dickson, L. , Brown, M. , Bibson, O. (1991) Children Learning Mathematics. London: Cassell Education.

2. 2. 2 Proces abstrahiranja pojmov v geometriji: a) Empirična abstrakcija (v ospredju so objekti in za konstruiranje znanja so pomembne lastnosti teh objektov). Na podlagi fizične izkušnje s predmeti učenec spozna lastnosti predmetov (na primer, ker se valj kotali, ima krivo ploskev).

Pri aritmetiki so v ospredju postopki; govorimo o psevdo -empirični abstrakciji. Poznamo še refleksivno abstrakcijo; postopki in objekti v neki fazi postanejo sestavni del novega objekta, postopka.

b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika. Zaznavanje oblik je bistveno, vendar le s pomočjo jezika lahko ustvarimo hierarhijo pojmov v geometriji. Primer: kvadrat je pravokotnik, kvadrat je romb…

Poznamo tri stopnje v pridobivanju geometrijskega znanja po Van Hielu: • vizualna, • opisna ter • teoretična.

Teoretična stopnja Učenec zna deduktivno izpeljati relacije med geometrijskimi pojmi oziroma zna dokazovati v geometriji. Proces učenja Faze učenja: razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje posredovanje informacij Opisna stopnja Učenec prepozna geometrijske oblike na podlagi opisa njihovih lastnosti. Faze učenja: razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje posredovanje informacij Vizualna stopnja Učenec prepozna geometrijske oblike.

Empirična abstrakcija ≈ vizualna stopnja začetno učenje o geometrijskih pojmih izhaja iz konkretnih predmetov oziroma tridimenzionalnih objektov

2. 2. 3 Metodični koraki poučevanja geometrije 'od telesa k točki‘ na začetku šolanja • Izkušnje s tridimenzionalnimi modeli. • Povezovanje geometrijskih modelov s predmeti iz okolice. • Pridobivanje lastnosti geometrijskih modelov. • Izdelovanje modelov geometrijskih teles iz različnih materialov. • Odtiskovanje, obrisovanje ploskev modelov geometrijskih teles.

Prednosti obravnave ‘od telesa k točki’: • omogoča mehkejši prehod med predšolskim in šolskim obdobjem, • zadosti matematičnim kriterijem, • je učencem bolj razumljiva (upošteva učenca in njegovo razvojno stopnjo).

Vaja za zbranost

Moja zbranost je danes: • 16 t … odlična • 12 -15 t … zelo dobra • 8 -11 t … dobra • 1 -7 t … drugič bo boljša

2. 2. 4 Geometrijski pojmi v prvih dveh triadah Matematične definicije in opredelitve pojmov za učence • Geometrijsko telo … 1. r. 3. r. : geometrijsko telo, rob, ploskev, oglišče Telo je predmet, ki je omejen s ploskvami, oglišči in robovi. 5. r. : kvader, kocka, mreža kvadra in kocke Vsaka kocka je kvader, saj ima vse lastnosti kvadra. Mrežo kvadra oz. kocke pokažemo s primerom (telo razrežemo vzdolž nekaterih robov).

• Geometrijski lik … 1. r. 3. r. : trikotnik (štirikotnik, petkotnik, šestkotnik…), skladnosti likov, simetrija (simetrija se obravnava že v 2. razredu) Lik, ki je omejen s tremi ravnimi črtami, je trikotnik. Ravne črte, ki omejujejo lik, so stranice. Točke, v katerih se stikata po dve stranici, so oglišča. (Oglišča pri likih ne označimo s križci, zgolj s točko. )

Lika, ki se prekrivata, sta skladna. Oblika, ki jo lahko prepognemo tako, da dela drugega prekrivata, je simetrična. Črta, po kateri obliko prepognemo, je simetrala. (Enaka definicija je v 4. r. ) ? ? Kaj je simetrija? Katere simetrije poznamo? Primer dejavnosti: izrezovanje simetričnih oblik.

4. r. : krog, krožnica, središče, polmer, premer Krožnica je sklenjena kriva črta, ki omejuje krog. 5. r. : kvadrat, pravokotnik Kvadrat je štirikotnik. Vse lastnosti pravokotnika ima tudi kvadrat. Kvadrat je pravokotnik. Vsak pravokotnik ni kvadrat. Vse lastnosti kvadrata niso tudi lastnosti pravokotnika.

6. r. : ravnina, kot, skladnost kotov, notranjost, zunanjost, rob kota, ostri, pravi, topi, iztegnjeni, udrti kot, središčni kot, krožni izsek, krožni lok Zamislimo si, da ravno ploskev nadaljujemo v vse smeri brez konca, pa dobimo ravnino. Lik je omejen del ravnine. Poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Tudi dve daljici lahko oklepata kot. Kota, ki drugega prekrivata, sta skladna. Oznake za kote: , ABC

Središčni kot je vsak kot, ki ima vrh v središču kroga. S krogoma, ki ju prerežemo vzdolž premerov, oblikujemo krožni izsek. Krožnemu izseku pripada središčni kot in krožni lok.

• Črta …enodimenzionalna geometrična zvezna tvorba, 1. r. 3. r sled svinčnika 1. r. : ravna, kriva črta 2. r. : (sklenjena, nesklenjena, presečišče črt, slednjega ne poimenujejo, zgolj označijo s križcem in z veliko tiskano črko), 4. r. : premica, daljica, poltrak, vzporednica, pravokotnica, sečnica: Na obeh straneh neomejeno ravno črto imenujemo premica Oznaka: mala tiskana črka (npr. p, tudi premica AB).

Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B. Točki A in B imenujemo krajišči daljice. Oznaka: daljica AB (krajišči ponavadi označimo s križci). Na eni strani omejeno ravno črto imenujemo poltrak. Oznaka: mala tiskana črka (npr. l), označimo tudi krajišče poltraka. Dve ravni črti, ki se ne sekata, sta vzporedni. Premici, ki se ne sekata, sta vzporedni. Oznaka: p II r

Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj? ? ), ampak pokažemo s primerom in protiprimerom. Oznaka: p r Premici, ki se sekata, sta sečnici. 5. r. : medsebojna lega premice in točke, sekanta, mimobežnica, dotikalnica (tangenta), tetiva Oznaka: A p

Premica, ki seka krožnico, je sekanta krožnice. Premica, ki s krožnico nima nobenih skupnih točk, je mimobežnica krožnice. Premica, ki ima s krožnico le eno skupno točko, je dotikalnica te krožnice. Pravimo ji tudi tangenta. Tetiva je daljica, ki ima krajišči na krožnici. ? ? Oznake.