2 1997 57 113828 1997 1997 8 mod

弃九法 例2 求证 1997× 57≠ 113828. 证明 由于1997 1＋9＋9＋7 8 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9) 但是, 8× 3=24, 而24≠ 5(mod 9), 得证.

2. 6. 1 指数与原根 例 证明： 5是模 3与模 6的原根，也是模 32，2* 32的原根 φ(3)=2， φ(6)=φ(3)φ(2)=2 φ(32)=9 -3=6, φ(2*32)=φ(2)φ(32)=6 5 -1(mod 3) 52 1(mod 3) 5是模 3的原根 5 -1(mod 6) 52 1(mod 6) 5是模 6的原根 5 5(mod 9) 52 -2(mod 9) 53 -1(mod 9) 54 4(mod 9) 55 2(mod 9) 56 1(mod 9) 5是模 32原根 5 5(mod 18) 52 7(mod 18) 53 -1(mod 18) 54 -5(mod 18) 55 -7(mod 18) 56 1(mod 18) 5是模 2* 32原根

2. 6. 1 指数与原根 例 计算 5模 17的指数ord 17(5)=？ 解： φ(17)=16, 所以只需计算 5的1、2、4、8、16次方 5 5(mod 17) 52 8(mod 17) 54 13(mod 17) 58 16 -1(mod 17) 516 1(mod 17) 所以ord 17(5)=16，5是模 17的原根。

2. 6. 1 指数与原根 定理1 指数的基本性质 ② 若a b (mod m)，(a, m) = 1，则ordm(a)= ordm(b) 分析： a ord(a) b ord(b) a ord(b) b ord(a) 1 (mod m), 所以ordm(a)| ordm(b), ordm(b)| ordm(a) 所以ordm(a)=ordm(b) ③a-1 a 1(mod m)，则ordm(a)= ordm(a-1) 分析： (a-1 a ) n 1(mod m)则 (a-1) n 1(mod m) <=> a n 1(mod m)

2. 6. 1 指数与原根 例 计算 39、7模 17的指数 解： ord (39)=ord (5)=16 ∵ 7*5=1(mod 17) ∴ord (7)=ord (5)=16 17 17

2. 6. 1 指数与原根 例 计算 223456(mod 7) 解： ord 7(2)=3， 23456(mod 3) 2 223456(mod 7) 22 4

2. 6. 1 指数与原根 定理1 指数的基本性质 ⑦若n m ，则ordn(a)| ordm(a) 分析： a ordm (a) 1 (mod m) => a ordm (a) 1 (mod n) 对于m=pe的情况特别有用 ⑧若(m, n) = 1，(a, mn) = 1，则ordmn(a)= [ordm(a), ordn(a)] 分析：设s=[ordm(a), ordn(a)], t= ordmn(a), 由 ⑦ ordn(a)|t, ordm(a)|t =>s|t; a s 1 (mod m) , a s 1 (mod n) => a s 1 (mod mn) => t|s

2. 6. 1 指数与原根 定理1 指数的基本性质 ⑨ (ab, m) =1， (ordm(a), ordm(b))=1则 ordm(ab)=ordm(a)ordm(b) 分析：设a ordm (b) ordm (ab) b ordm (b) ordm (ab) (a b) ordm (ab) 1 (mod m) => ordm(a)|ordm(b)ordm(ab), 同理，ordm(b)|ordm(a)ordm(ab) 所以， ordm(a)ordm(b)|ordm(ab) 另一方面(a b) ordm (a) 1 (mod m) , 所以 ordm(ab)|ordm(a)ordm(b) 价值：简化求原根

练习 例 a 1 ind 3 a 0 2 2 3 1 4 4 5 5 6 3 解方程 x 5 3 (mod 7) 类似于解对数方程： 5 ind 3 x ind 33 1(mod 6) ind 3 x 5(mod 6) 查表 x 5(mod 7) 当然也可以利用 ind 5 x 5 ind 5 x ind 53 5(mod 6) ind 5 x 1(mod 6) 直接 x 5(mod 7) 为什么是 6? 注意：模又恢复为 7

练习 例 a 1 ind 3 a 0 2 2 3 1 4 4 解方程 6*3 x 5 (mod 7) 法一： 6 -1 -1 (mod 7)，所以原方程化简为 3 x -5 2(mod 7)，所以xind 33 ind 32(mod 6) x 2(mod 6) 仍然是 6 法二：ind 36+xind 33 ind 35(mod 6) 3+x 5(mod 6) x 2(mod 6) 仍然是 6 指数模指数，底数模m 5 5 6 3

总结 寻找一个原根的技巧: ordm(a) |φ(m) (m, n) = 1，(a, mn) = 1，则ordmn(a)= [ordm(a), ordn(a)] (ab, m) =1， (ordm(a), ordm(b))=1则ordm(ab)=ordm(a)ordm(b) 奇素数p，p-1=

练习 求模 41的原根情况 φ(11)=40, 现在只要考察x 8, x 20 从2开始, 因为 28 10, 220 1(mod 41); 38 1, 320 -1(mod 41); 48 20, 420 1(mod 41); 58 18, 520 1(mod 41); 68 10, 620 -1(mod 41); 所以 6是模 41的原根

练习 求模 41的原根情况 因为: 62 36, 63 -30 11, 64 25, 65 -55 27(mod 41); 66 39, 67 29, 68 10, 69 19, 610 32, 611 28(mod 41); 612 4, 613 24, 614 21, 615 3, 616 18, 617 26(mod 41); 618 33, 619 34, 620 40, 621 35, 622 5, 623 30 (mod 41); 624 16, 625 14, 626 2, 627 12, 628 31, 629 22 (mod 41); 630 9, 631 13, 632 37, 633 17, 634 20, 635 38(mod 41); 636 23, 637 15, 638 8, 639 7, 640 1(mod 41);