2 13 Reciprocity Relation For Dyadic Greens Functions

2. 13 Reciprocity Relation For Dyadic Green’s Functions z=0 If x z y Boundary-value problem for which is not a symmetric dyadic 1 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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2. 14 Eigenfunction Expansions of Dyadic Green’s Functions ∴ F and L(static) is a vector eigenfunction 3 EMLAB 이정한 static 2021 -06 -05

For spherical(conical) coordinate systems, the solenoidal functions could be from the scalar functions of the scalar Helmholtz equation For cylinderical and rectangular coordinate systems 4 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Vector Eigenfunctions in Spherical Coordinates 5 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Henkel transforms 6 EMLAB 이정한 Completeness relations 2021 -06 -05

The vector eigenfunctions(L, M, N) are orthogonal among themselves. 7 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

L은 M과 N에 대해 orthogonal 하다. M과 N도 서로 orthogonal 하다. 8 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Normalization Factor for N functions Spherical Bessel functions 9 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Using completeness relation vector Helmholtz 와 wave equations 을 위한 eigenfunctions expansion 솔루션을 구하기 위해 scalar 함수로 부터 M, N, L 을 구할 수 있었다. 10 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Eigenfunction Expansion of Vector and Scalar Potentials: Coulomb Gauge 1) Vector potentials Therefore L functions lie in the null space of the curl operator. ( S has no projection on the functions Lj )So vector potential A can be constructed using only M and N functions. 11 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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1) Scalar potentials 14 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

*) Directly way to obtain for an eigenfunctions of the electric field 15 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

*) Another way to obtain for an eigenfunctions of the electric field The eigenfunction expansion of the scalar Green’s funciton for the Helmholtz equation 17 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

2. 15 Expansion of the electric field in spherical modes We showed that the eigenfunction expansion for the electric field. In this section we will show that an expansion of the electric field in spherical modes The mode expansion outside the source region involves only M and L functions that are derived from the scalar wave functions The N function spectrum of eigenfunctions contributes a zero frequency or static-like set of modes that cancels the longitudinal eigenfunctions(L functions) contributions outside the source region. In side source region, the cancellation is not complete but the remainder can be expressed as a delta function contribution. 18 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

We consider Nj functions first. We can keep the derivative operation outside the integral ( because integral involves discontinuous derivatives at the point r=r 0 19 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

1) 2) Principle-value integral is converted to a contour integral 21 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

이때의 I는 k=0 에서 그리고, k=k 0 혹은 k=-k 0에서 pole을 갖고 있다. We use the contour shown in Fig 2. 16(a). We must add to the contour integral one-half of the pole contribution at k=0 23 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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We need symbols for the static-like modes generated from other terms(i. e, derivation terms) in I(ro, r) 25 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

All term is vanished 26 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

K=0에서 pole만 있기 때문에, Nj에서 구한 I 중 second term만 유효. This term cancels static-like mode that are a part of Nj 28 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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z J(r 0) Vo 32 F a EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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구의 바깥쪽에서의 Electric field는 r>a 우리는 expansion mode로 electric field를 구해보았다. 37 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

2. 16 Dyadic Green’s function expansion in cylindrical coordinates Scalar Helmholtz eq. General solution 앞에서와 마찬가지로 eigenfunction L, M, N의 normalization 과 orthogonality 특성을 증명해본다. 다음 밑의 식은 앞으로의 증명에 계 속 사용될 관련 식들이다. (173) (172) 38 EMLAB 이정한 Hankel transform for cylinder Bessel functions (175) Bessel function differential and 2021 -06 -05 recurrence relation

먼저, L, N, M functions들을 정의한다. (174) 39 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

< Orthogonality > 1) 2) 마찬가지로 0이 된다. 41 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

< Dyadic Green’s Function > 우리는 먼저 k에 대해서 적분하고 w에 대하여 inverse Fourier transform 형태의 적분을 한다. 42 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

의 성분중 유일하게 적용할 수 없다. 는 앞에서와 같이 residue theory 를 Bessel function differential and recurrence relation are used: 44 최종적으로 얻어진 식은 앞에서와 같이 Bessel function 앞에 곱해진 factor가 앞의 Mj , Nj 에서와 같기 때문에 residue 를 적용할 수 있다. EMLAB 이정한 2021 -06 -05

1/p term때문에 생긴것. cancel 45 EMLAB 이정한 cancel 2021 -06 -05

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1) k=0 pole cancellation 47 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

2) k=-jw pole cancellation 48 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

; Wroskian 50 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

원통좌표계에서의 electric dyadic green 함수 51 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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1) 2) Similar steps, 3) 54 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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참고 사항 2. 8 Three-Dimensional Green’s Function EM LAB 이정한 56

57 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

2. 18 59 EMLAB Dyadic Green’s Functions and Field Equivalence Principle 이정한 2021 -06 -05

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Tangential Normal 성분 Let the z axis be oriented along n from the center of the circular disk assumed to have a radius a. 62 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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2. 19 Integral Equation For Scattering Ja Scattering 문제의 경우, Ei ( 물체에 의한 incident field ) 를 위와 같이 S영역의 바깥쪽에 Ja 가 있는 것으로 생각한다. 66 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

tangential component of the total electric field equal to zero on the perfectly conducting surface S , i. e n X E =0 0 n(ro)가 integral의 기호 안 으로 들어갔다. ; the electric field integral equation (EFIE) EFIE는 만약 S상에서 어떠한 전류 분포도 갖지 않는다면, unique한 솔루션 0 을 갖는다. 그리고 위의 EFIE가 unique한 솔루션을 갖기 위해서는 –n. XEi 가 integral operator의 null space 와 orthogonal 해야한다. 즉, –n. XEi 가 반드 시 integral operator의 space에 있어야 한다. Jes는 integral operator의 null space안에 있다. ( k 0: internal resonant frequencies of the cavity formed by S ) 67 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Eigen mode current Jes는 S의 outside에서는 field를 생성하지 않는다. (위에서 살펴 본바대로) 그런데, S의 내부에서 , Closed surface S 위에서는 zero tangential electric field 를 a finite tangential magnetic field를 형성한다. 이 current가 incident field Ei와 orthogonal함을 증명해보자. Ei의 tangential 성분이다. 따라서 Ei, tan 과 Jes가 orthogonal함이 증명 되었고 ( Jes는 integral의 null space, Ei, tan은 operator의 space ) 따라서 EFIE는 unique한 솔루션을 갖는다. 69 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

결국, EFIE의 solution이 unique해 질 수 있도록 , S상에서의 임의의 전 류 분포 Jes로 부터 eigenmode currents를 제거하면 된다. 하지만, 실제로는 eigenfrequencies 나 eigenmode currents를 둘 다 정확하게 모르기때문에 unique한 solution을 구하는 것이 어렵다. An approximation numerical solution of EFIE can be achieved using the method of moments [2. 26] 70 EMLAB 이정한 S 0와 S-S 0로 영역을 나누어서 Gn(ro)를 구한 다. 2021 -06 -05

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S 0 와 S-S 0의 영역으로 나누어서 적분하면, Principal-value integral Maue’s magnetic field integral eqaution (MFIE) 위의 두 식을 Fredholm equation의 2번째 식이라고 한다. 73 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

이런 이유로 앞에서의 integral operator를 compact operator 라 한다. 75 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

Magnetic field integral equation은 추가적인 경계조건이 필요하다. 일반적으로 Internal cavity modes의 Resonant frequencies 에서 해가 unique하지 않다. Priciplal-value integral 앞에서 두 식을 Fredholm equation의 2종류 라고 했는데, k 0 가 internal cavity의 resonant wavenumber중 하나만이라도 같을 경우, 왼 쪽이 0이 되는 특성이 있는데 이를 증명해본다. 76 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

1) 79 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

2) ; interior symmetric anti-symmetric ; exterior 80 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

; complete set of vector basis function Jn 의 시리즈 형태로 표현 가능 81 EMLAB 이정한 2021 -06 -05

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