2 1 2 Graf kvadratick funkce TENTO PROJEKT

2. 1. 2 Graf kvadratické funkce TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Grafem každé kvadratické funkce je plynulá nepřerušovaná křivka, nazývá se parabola, a je osově souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Sestrojování grafů kvadratických funkcí Sestrojit graf kvadratické funkce není tak triviální jako u lineární funkce, kde stačilo spojit dva body. Před samotným kreslením bychom měli vědět, jak přesnou informaci o průběhu funkce potřebujeme. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

U kvadratických funkcí můžeme zjišťovat několik vlastností: • • • Natočení Polohu vrcholu Průsečík s osou y Průsečík s osou x Odvození jednodušších grafůy = ax 2 + c y = ax 2 + bx • Skládání grafů TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Natočení Pokud je parabola natočena otevřeným koncem nahoru, říkáme, že funkce je konvexní. Na obrázku je znázorněna funkce y = x 2 , tato funkce je konvexní a splňuje podmínky konvexnosti ( a > 0 ). TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Pokud je parabola natočena otevřeným koncem dolů, říkáme, že funkce je konkávní. Na obrázku je znázorněna funkce y = -x 2 , tato funkce je konkávní a splňuje podmínky konkávnosti ( a < 0 ). TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Poloha vrcholu V [x 0; y 0] Abychom získali souřadnice vrcholu V musíme si převést zápis funkce z tvaru na tvar. Této úpravě se říká úprava na čtverec. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Příklad 1: Sestrojte graf funkce Vytvoříme třetí člen mocninného rozvoje (a+b)2. Odečteme vytvořený člen mocninného rozvoje tak, aby se druhý řádek rovnal řádku prvnímu. Upravíme Vzorec (a+b)2 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Porovnáme upravený zápis se vzorcem y 0 x 0 Konstanta k = 1, parabola bude konvexní, což bylo jasné už na začátku, kde a = 1. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Souřadnice vrcholu paraboly lze počítat také dle vzorce. Vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce má souřadnice , . TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Průsečík s osou y Zjištění průsečíku paraboly s osou y, provedeme tak, že dosadíme do zápisu funkce x = 0 a dopočítáme y. Pro ukázku použijme tutéž funkci. u které jsme zjišťovali vrchol V. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Průsečík s osou x Zjištění průsečíku paraboly s osou x, provedeme tak, že dosadíme do zápisu funkce y = 0 a dopočítáme x. Je třeba počítat s tím, že můžeme najít buď dva průsečíky s osou x, nebo pouze jeden dotykový bod a nebo nemusíme najít žádný společný bod. Více podrobností najdeme v kapitole kvadratické rovnice. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Příklad 1: Sestrojte graf funkce . Řešení: Pokračujeme v řešení tohoto příkladu, nyní (Řešení na interaktivní tabuli i ve Wordu) vypočítáme průsečíky s osou x. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Odvození z jednodušších grafů použijeme u těch funkcí, kde konstanta b = 0, případně c = 0. Obecný tvar funkce: 1. 2. 3. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Vliv konstanty grafu na natočení Grafy kvadratických funkcí, kde a kde mají tu vlastnost, že vždy procházejí středem soustavy souřadnic. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Čím je absolutní hodnota větší, tím je graf strmější TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Vliv konstanty c na posunutí grafu Grafy kvadratických funkcí, kde mají tu vlastnost, že jejich vrchol leží vždy na ose y. Konstanta c posouvá parabolu buď nahoru (c > 0), nebo dolů TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY (c < 0).

Vliv konstanty b na posunutí grafu ( graf takové funkce prochází vždy počátkem soustavy souřa TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Skládání grafů Grafy funkcí typu: TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Graf funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y a s vrcholem která se otvírá nahoru ( konvexní ) pro > 0 a dolů ( konkávní ) pro < 0. Příklad 2: Sestrojte graf funkce . Řešení: Graf funkce vznikne z grafu posunutím o tři jednotky ve směru kladné Graf funkce vznikne z grafu poloosy x. posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy x. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Grafy funkcí: TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Cvičení 2. 1. 2. 4 1. Nakreslete grafy kvadratických funkcí: 2. Nakreslete grafy kvadratických funkci, určete definiční obor, monotónnost funkcí: TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKOU UNIÍ A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČE TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Graf funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y a s vrcholem která se otvírá nahoru ( konvexní ) pro > 0 a dolů ( konkávní ) pro < 0. Příklad 3: Sestrojte graf funkce. Řešení: Ve zvolené souřadnicové soustavě načrtneme graf funkce a tuto parabolu posuneme tak, aby její vrchol byl v bodě a její osa byla rovnoběžná s osou y. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Graf funkce TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Cvičení 2. 1. 2. 5 1. Sestrojte grafy kvadratických funkcí: TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Postup při sestrojování grafu funkce 1. Upravíme nejprve výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu ( doplněním na čtverec ): 2. Sestrojíme graf funkce 3. Sestrojíme graf funkce a to z grafu pomocí posunutí: o jednotek ve směru osy x, TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Příklad 4: Sestrojte graf funkce Řešení: Sestrojíme graf funkce . TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Sestrojíme graf funkce a to z grafu pomocí posunutí: o jednotek ve směru osy x, o jednotek ve směru osy y. Dále můžeme vypočítat průsečíky s osami, určit monotónnost funkce, Určit maximum nebo minimum funkce, definiční obor. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Graf funkce f: y = 0, 5 x 2 +2 x -1 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY

Cvičení 2. 1. 2. 6 1. Načrtněte graf funkce dané rovnicí: 2. Zobrazte graf funkce: Cvičení 2. 1. 2. 7 ( opakování ) TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN Z EVROPSKÉHO SOCIÁLNÍHO FONDU A STÁTNÍHO ROZPOČTU ČESKÉ REPUBLIKY