19 Matrizen als lineare Abbildungen Natrlich sind Matrizen
§ 19 Matrizen als lineare Abbildungen Natürlich sind Matrizen keine lineare Abbildungen. Was der Titel anspricht, ist die Aussage, dass jede Matrix unter Festschreibung von Basen eine lineare Abbildung definiert. Und umgekehrt: Ist f aus Hom(V, W) mit endlichdimensionalen KVektorräumen V und W, so bestimmt die Vorgabe von (geordneten) Basen in V und W eine Matrix, welche die Abbildung f vollständig beschreibt. (12. 1) Definition: V sei ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine geordnete Basis von V ist ein n-Tupel (b 1, b 2, . . . , bn) von Vektoren aus V, für das die Menge {bk : k = 1, 2, . . . , n} = {b 1, b 2, . . . , bn} eine Basis bildet. Achtung: {b 2, b 1, b 3, . . . , bn} = {b 1, b 2, . . . , bn} , aber in der Regel nicht (b 2, b 1, b 3, . . . , bn) = (b 1, b 2, . . . , bn). Folie 1
Kapitel IV, § 19 07. 01. 02 (19. 2) Satz: Sei b = (b 1, b 2, . . . , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c 1, c 2, . . . , cm) eine geordnete Basis von W. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f aus Hom(V, W) eine (m, n) Matrix ( = A(f) = A(f, b, c) ) mit für X aus V, Anders ausgedrückt: f(X) = Y hat bezüglich der geordneten Basis (c 1, c 2, . . . , cm) die Komponenten Beweis: Koeffizienten Die bestimmen eine Matrix A, und es gilt: Bemerkung: Diese Matrix A = A(f) = A(f, b, c) heißt die zu f gehörige Matrix (in Bezug auf die geordneten Basen b und c). Umgekehrt: Folie 2
Kapitel IV, § 19 (19. 3) Satz: Sei b = (b 1, b 2, . . . , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c 1, c 2, . . . , cm) eine geordnete Basis von W. Jede (m, n)Matrix definiert die linearen Abbildung f ( = f(A) = f(A, b, c) ) vermöge 19. 12. 01 für X aus V , (19. 4) Spezialfall: Für V = Kn und W = Km mit den geordneten Standardbasen e = (e 1, e 2, . . . , en) und e = (e 1, e 2, . . . , em) folgt: Jede (m, n)-Matrix definiert die lineare Abbildung f = f(A, e, e) durch (19. 5) Satz: Sei b = (b 1, b 2, . . . , bn) eine geordnete Basis von V und sei c = (c 1, c 2, . . . , cm) eine geordnete Basis von W. Die natürliche Abbildung ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. (19. 6) Korollar: dim Hom(V, W) = (dim V)(dim W). Folie 3
- Slides: 3