10 pednka Hyperbolick paraboloid a konoidy Literatura Polek
10. přednáška Hyperbolický paraboloid a konoidy
Literatura: • Poláček, J. , Doležal, M. : Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999 • Elektronické studijní materiály • Praktické využití 2
Hyperbolický paraboloid je zborcená plocha s těmito řídícími prvky: • mimoběžky a, b, • nevlastní přímka c. Nevlastní přímka je reprezentována řídící rovinou ρ (ta není rovnoběžná s žádnou z přímek a, b). Tvořícími přímkami jsou příčky mimoběžek a, b rovnoběžné s řídící rovinou ρ. • Mimoběžky a, b jsou rovnoběžné s rovinou σ. Dvě příčky mimoběžek a, b - např. přímky m, n – určují spolu s rovinou σ tutéž plochu jako trojice a, b, ρ. 3
Všechny příčky rovnoběžné s jednou řídící rovinou tvoří regulus. Libovolná dvojice přímek jednoho regulu a libovolná dvojice přímek druhého regulu Určují tzv. zborcený čtyřúhelník ABCD. Je to čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v jedné rovině. 4
Hotel Rajská bouda - Malenovice 5
Hyperbolický paraboloid má dvě řídící roviny a dva přímkové reguly, které mají tyto vlastnosti: • každé dvě přímky téhož regulu jsou mimoběžné, • všechny přímky téhož regulu jsou rovnoběžné s jednou řídící rovinou, • každé dvě přímky různých regulů se protínají a určují tečnou rovinu hyperbolického paraboloidu ve svém průsečíku, • na hyperbolickém paraboloidu neexistují torzální přímky. 6
Vrchol a osa hyperbolického paraboloidu • • Směr osy je průsečnice řídících rovin. Vrchol V je bod, ve kterém je tečná rovina kolmá na osu. Osa o plochy je přímka procházející vrcholem rovnoběžně se směrem osy. Vrcholová tečná rovina se plochy dotýká ve vrcholu V a protíná plochu ve vrcholových tvořících přímkách u a v. Ty jsou souměrné podle hlavních rovin. Hlavní roviny protínají tuto plochu v sedlových parabolách. Ortogonální hyperbolický paraboloid má řídící roviny navzájem kolmé. 7
Příklad 1. Sestrojte několik tvořících přímek hyperbolického paraboloidu daného zborceným čtyřúhelníkem ABCD. [Δ(8; 10; 11), A (3, 0, 9); B(0, 6, 1); C (8, 10, 4); D (11, 4, 2) ] 8
Příklad 2. V bodě T (dáno T 1 ) na hyperbolickém paraboloidu sestrojte jeho tečnou rovinu. 9
Příklad 3. Sestrojte vrcholové přímky, vrchol a osu hyperbolického paraboloidu. 10
Řez hyperbolického paraboloidu rovinou, která je • rovnoběžná s některou z řídících rovin, je jedna tvořící přímka; • tečnou rovinou plochy, je dvojice tvořících přímek; • rovnoběžná s osou plochy (ne s řídící rovinou), je parabola s osou rovnoběžnou s osou plochy; • jiná než předchozí, je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné s průsečnicemi roviny řezu s řídícími rovinami hyperbolického paraboloidu. Je-li rovina řezu specielně kolmá na osu plochy, je řezem hyperbola se středem na ose plochy a asymptotami rovnoběžnými s vrcholovými přímkami u a v. Hlavní roviny protínají plochu v hlavních (sedlových) parabolách. 11
• Hyperbolický paraboloid lze také sestrojit jako translační plochu z jeho sedlových parabol. • Užití plochy: zastřešení hal, jako přechodové plochy u silničních staveb apod. 12
Konoidy Řídící prvky těchto zborcených ploch jsou: • vlastní přímka, • nevlastní přímka (reprezentovaná řídící rovinou), • libovolná křivka, příp. plocha. 13
Pokud je vlastní řídící přímka kolmá na řídící rovinu, pak je konoid přímý (kolmý), jinak je šikmý (kosý). Podle řídící křivky má konoid přívlastek: kruhový (řídící křivkou je kružnice), parabolický, eliptický, šroubový (řídící křivkou je šroubovice, řídící přímkou je osa šroubového pohybu a řídící rovina je kolmá na osu), • apod. • • 14
Stupeň konoidu: Jestliže se řídící křivky neprotínají a řídící křivka je algebraická stupně n, pak je konoid stupně 2 n. Nejjednodušší konoid je hyperbolický paraboloid. Jeho řídící křivka je přímka, je to tedy plocha druhého stupně. 15
Příklad : Sestrojte několik tvořících přímek přímého parabolického konoidu zadaného těmito řídícími útvary: • parabola v bokorysně procházející počátkem, s vrcholem V a osou o // z; • řídící rovina ; • řídící přímka a procházející bodem A. Proveďte v kolmé izometrii. V bodě T plochy (dáno T 1) sestrojte tečnou rovinu. Pozn. Parabolu v bokorysně sestrojíme např. inženýrskou konstrukcí ze dvou známých tečen s body dotyku (RB a RO) a za použití věty: vrchol paraboly půlí subtangentu. 16
- Slides: 16