1 Uvod Broj e je jedna od najznaajnijih

1. Uvod � Broj e je jedna od najznačajnijih matematičkih konstanti, poznata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova konstanta. Njegova vrednost, zaokružena na dvadeset decimala iznosi: � Broj e se prvi put pojavio 1618. godine u logaritamskim tablicama (nakon Nejpirovog otkrića logaritama), ali mu tada nije pridavan naročit značaj. Njegov smisao, kako u matematici, tako i u drugim naučnim oblastima biće otkriven znatno kasnije. Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

2. Definicija broja e � Postoji više definicija broja e. Da bismo ga definisali preko limesa posmatraćemo sledeće nizove: � Ako dokažemo da postoji limes niza bn biće: � Postoji bn. i limes niza an iste vrednosi kao i limes niza Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

� Dokažimo � Primenom najpre da je niz bn opadajući. Bernulijeve nejednakosti dobijamo da važi: � odakle sledi da je: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

� Dokažimo jednom dobijamo: još i da je niz bn ograničen odozdo. Još primenom Bernulijeve nejednakosti � Dakle, niz bn je opadajući i ograničen odozdo, sto znači da je konvergentan. � Treba još pokazati da je niz an rastući i ograničen odozgo. � Iskoristimo nejednakost aritmetičke i geometrijske sredine: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

• Prema tome, niz an je rastući. Kako je: �I niz bn opadajuci i ogranicen odozdo, sledi da je niz an ogranicen odozgo. � Dakle, niz an je konvergentan. � Definicija 1: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

3. Primena broja e u matematici 3. 1. Eksponencijalne funkcije Broj e pronalazi primene u različitim oblastima matematike. Koristi se, izmedju ostalog, i za definisanje eksponencijalnih funkcija. Ovde cemo prikazati dve definicije eksponencijalnih funkcija preko broja e: • Definicija 1: • • Definicija 2: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

3. 2. Ojlerova formula � Ojlerova formula, koja glasi � spada u najznačajnije formule u matematici. Ako se x zameni sa pi dobija se Ojlerov identitet: � Značajan po tome sto daje vezu izmedju pet izuzetno važnih matematičkih konstanti: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

4. Primena broja e u ekonomiji � Vrednost broja e u početku je računata u bankarske svrhe. Koliki je njegov značaj za ekonomiju ilustruje primer koji sledi. � Pretpostavimo da ulažemo u banku sumu novca x. Ako bi banka davala 100%-tnu kamatu na godišnjem nivou, nakon godinu dana suma novca koju bismo mogli da podignemo iznosila bi 2 x (Ovde se radi o prostom kamatnom računu). Ukoliko bismo na pola godine podigli novac i ponovo ga ulozili, nakon jedne godine imali bismo Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић

� Ako bismo svaki dan podizali novac i ponovo ga ulagali, naša suma bi se nakon godinu dana povecala � Postavlja se pitanje: � Koliko novca možemo zaraditi ukoliko bi banka računala složen interes na beskonačno malim vremenskim intervalima? ( tzv. neprekidno kapitalisanje ). � Odgovor je: Предмет: Математика Професор: Бојан Божановић