1 Sudaryatno Sudirham Kapita Selekta Matematika Bilangan Kompleks

1 Sudaryatno Sudirham Kapita Selekta Matematika Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval Klik untuk melanjutkan

2 BILANGAN KOMPLEKS

Definisi Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan kompleks sebagai berikut Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x, y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan bagian nyata (real part) dari z bagian khayal (imaginary part) dari z kita tuliskan Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. 3

Bilangan Nyata Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3, 14……. , dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya. Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 4

Tinjaulah suatu fungsi tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu bilangan imajiner (khayal) 5

Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya maka bilangan imajiner j = 1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya 6

Pernyataan Bilangan Kompleks Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan bilangan kompleks bagian imajiner bagian nyata 7

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks yang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x, , y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya 8

Diagram Argand disebut modulus Im jb disebut argumen a Re 9

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Sudut dengan sumbu nyata adalah Pernyataan z 1 dapat kita tuliskan 10

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Pernyataan ini dapat kita tuliskan 11

Kesamaan Bilangan Kompleks Modulus merupakan nilai mutlak Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik maupun yang sama besar. Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar. . 12

Negatif dari Bilangan Kompleks Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya Jika maka Im jb a Re 13

CONTOH Jika maka Sudut dengan sumbu nyata z 1 dapat dinyatakan sebagai 14

Konjugat Bilangan Kompleks Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z. Im Re 15

CONTOH: Jika maka Im Sudut dengan sumbu nyata Re z dapat dinyatakan sebagai 16

CONTOH: Im Jika maka Re 17

Operasi-Operasi Aljabar 18

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner. Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner. 19

CONTOH: Diketahui 20

Perkalian Bilangan Kompleks Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen Jika Perhatikan: 21

CONTOH: 22

Pembagian Bilangan Kompleks Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1 CONTOH: 23

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar 24

Fungsi Eksponensial Kompleks Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata Jika z adalah bilangan kompleks fungsi eksponensial kompleks didefinisikan Melalui identitas Euler fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan 25

Bentuk Polar Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah Im Re CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j 0, 5 Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0, 5 rad Bentuk sudut sikunya adalah: Im Re 26

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j 4 Modulus Argumen Representasi polar z = 5 e j 0, 93 Im Re 27

CONTOH: Misalkan Modulus Argumen tidak bernilai tunggal Di sini kita harus memilih = rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2 Im Re 28

. CONTOH Misalkan Modulus Argumen komponen nyata: 0 komponen imajiner: 2 Representasi polar adalah Im Re 29

Manfaat Bentuk Polar 30

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian. CONTOH: Misalkan z 1 = 10 e j 0, 5 dan z 2 = 5 e j 0, 4 31

Konjugat Kompleks argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya Im Re Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut 32

CONTOH: Misalkan 33

Kuliah Terbuka Bilangan Kompleks Sudaryatno Sudirham 34

Sudaryatno Sudirham 35

Permutasi 36

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok urutan komponen diperhatikan Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf Kelompok yang bisa kita bentuk adalah diperoleh 2 kelompok Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A 37

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah: diperoleh 6 kelompok Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi kedua Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga 38

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4 Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1 jumlah kelompok yang mungkin dibentuk 4 3 2 1=24 kelompok yaitu: ABCD ABDC ACBD ACDB ADCB ADBC BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CDAB CDBA CABD CADB CBAD CBDA DABC DACB DBCA DBAC DCAB DCBA ada 24 kelompok 39

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan Kita baca : n fakultet Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen, tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan 40

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya. Penghitungan 4 P 2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan 41

Secara Umum: Contoh: 42

Kombinasi 43

Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA 44

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan jumlah permutasi n. Pk dibagi dengan permutasi k Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai n. Ck Jadi 45

Contoh: Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, dan D Jawab: yaitu: AB AC AD BC BD CD 46

Contoh Aplikasi Distribusi Maxwell-Boltzman Distribusi Fermi-Dirac 47

Distribusi Maxwell-Boltzman Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi 48

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah maka jumlah cara penempatan elektron di E 1 merupakan permutasi n 1 dari N yaitu 49

Jumlah cara penempatan elektron di E 2 merupakan permutasi n 2 dari (N n 1) karena sejumlah n 1 sudah menempati E 1 Jumlah cara penempatan elektron di E 3 merupakan permutasi n 3 dari (N n 1 n 2) karena sejumlah (n 1+n 2) sudah menempati E 1 dan E 2 dst. 50

Setelah n 1 menempati E 1 maka urutan penempatan elektron di E 1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara satu elektron dengan elektron yang lain Jadi jumlah cara penempatan elektron di E 1 adalah kombinasi n 1 dari N yaitu Demikian pula penempatan elektron di E 2, E 3, dst. 51

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability Misalkan intrinksic probability tingkat E 1 adalah g 1, E 2 adalah g 2, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi adalah Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah: Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann 52

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material” 53

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann Jumlah elektron pada tingkat energi Ei temperatur konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi 54

Distribusi Fermi-Dirac Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama. Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu tingkat energi 55

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada, yaitu 56

Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E 1, E 2, E 3 dst. merupakan kombinasi C 1, C 2, C 3 dst. Dengan probabilitas intrinksik g 1, g 2, g 3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E 1, E 2, E 3 dst. menjadi dst. Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah: Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut 57 permutasi dan kombinasi

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian permutasi dan kombinasi Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e “Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga 58

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T 0 Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat elektron di atas EF EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi. 59

Kuliah Terbuka Permutasi dan Kombinasi Sudaryatno Sudirham 60

Sudaryatno Sudirham Aritmatika Interval 61

Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval. 62

Cakupan Bahasan Ø Pengertian-Pengertian Interval Ø Operasi-Operasi Aritmatika Interval Ø Sifat-Sifat Aritmatika Interval 63

Pengertian-Pengertian Interval 64

Bilangan nyata yang biasa kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *) Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan Contoh: Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup). *) Lihat pula “Fungsi dan Grafik” 65

Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai menunjukkan kumpulan yang kita tinjau menunjukkan sembarang elemen dari S menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S atau tidak 66

Contoh R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata 67

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara dan + kita tuliskan Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi interval Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval. Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval. Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas intervalnya. 68

Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas (nilai maksimum) kita tuliskan kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval. Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut ( 0 x ) interval X batas bawah batas 69

Degenerasi Suatu interval mengalami degenerasi jika dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate. Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi) suatu bilangan nyata. 70

Lebar Interval Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata Contoh: ( 0 ) x w(X) 71

Titik Tengah Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah Contoh: titik tengah Radius Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval Contoh: radius interval X adalah w(X)/2 = (10 4)/2 = 3. 72

Kesamaan Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas yang sama. Jika maka dan jika dan hanya jika Urutan Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, Contoh X = {6, 10} dan Y = {13, 18} X < Y. 0 ( x X ) ) ( Y Dalam contoh ini w(X) < w(Y) 73

Nilai Absolut Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya Contoh X = { 8, 4} 74

Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya Contoh X = {2, 6}, Y = {8, 18} Di sini 0 ( x ) X ( ) Y 75

Simetri Suatu interval X disebut simetris jika Contoh: X = { 5, 5} ( x ) 0 X Interval simetris mengandung elemen bernilai 0. Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0. Ia bukan degenerate interval. 76

Irisan Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval. Irisan antara interval X dan interval Y adalah Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} X ( 0 x ( Y ) ) Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X. 77

Gabungan antara interval X dan Y adalah Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] X ( 0 x ( Y ) ) Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval. Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda. 78

Inklusi Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika atau jika dan hanya jika Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} Y ( ( 0 ) x ) X b). X ={ 5, 2} dan Y = { 7, 7} ( ( ) x ) 0 X Y 79

Operasi-Operasi Aritmatika 80

Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu: Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif. Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif. Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol. Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol. 81

Penjumlahan dan Pengurangan 82

Penjumlahan Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja. 83

Jika dan , maka Jumlah interval juga merupakan interval. Y X ( 0 x ) ( ( ) ) X+Y tidak merupakan sebuah interval karena X < Y. X dan Y adalah dua Penjumlahan berbeda dengan penggabungan. Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval yang terpisah. 84

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14} X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20] Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan. Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan biasa. Perbedaan penjumlahan dan gabungan Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] X 0 ( ( x Y ) ( z ) ) 85

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai yang dapat kita tuliskan ( ) ( x X 0 ) x X Batas X adalah Batas bawah X adalah x 86

Contoh: a). X = [2, 6] X = [ 6, 2] ) x ( ( 0 ) x X X b). X = [ 2, 6] X = [ 6, 2] ( ( x ) 0 x X X ) 87

Pengurangan Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12] X Y = [2, 6] [7, 12] = [2 12, 6 7] = [ 10, 1] X ( ( ) 0 x )( Y ) X Y Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X Y merupakan interval negatif. 88

Perkalian dan Pembagian 89

Perkalian Interval Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai yang dapat dituliskan Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah maupaun batas dari interval hasil kali. Namun pekerjaan akan sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada sumbu bilangan nyata 90

Pada interval X selalu dipenuhi relasi maka dengan memperhatikan posisi jika maka kita akan mengetahui posisi Demikian juga pada interval Y jika maka 91

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu: interval positif kali interval positif interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya interval negatif kali interval negatif perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol 92

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah: 1). ( 0 x X X 2). 3). 4). ( x 0 ( x X ) Y ( ) ) ) 0 X ) Y ( ) 0 93

Contoh dan Penjelasan 1). ( 0 x X ) ( Y ) Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah. Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil bilangan positif. 95

Contoh dan Penjelasan X 2). ( x 0 ) ( Y ) Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas interval yang lain (yang positif). Batas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas karena kedua batas tersebut positif. 96

Contoh dan Penjelasan 3). ( x X ) ( Y ) 0 Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas interval positif. Batasnya adalah kasilkali batas interval negatif dan batas bawah interval positif 97

Contoh dan Penjelasan 4). ( x X ) Y ( ) 0 Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas (positif) interval yang mengandung nol. Batasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol. 98

Contoh dan Penjelasan X ( ) ( 5). x Y ) 0 Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. 99

Contoh dan Penjelasan Y 6). ( ) 0 ( X ) Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas interval positif. Batasnya adalah kasilkali batas interval negatif dan batas bawah interval positif 100

Contoh dan Penjelasan Y 7). ( 0 ) ( X ) Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas interval yang lain (yang positif). Batas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas karena kedua batas tersebut positif. 101

Contoh dan Penjelasan Y 8). ( X ) ( 0 ) Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Formula umum: Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas (positif) interval yang mengandung nol. Batasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol. 102

Contoh dan Penjelasan Y 9). ( ( X 0 ) ) Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi batas maksimum Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi batas minimum 103

Kebalikan Interval Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai Dengan memperhatikan batas dan batas bawahnya, maka Contoh: X = [2, 10] 1/X = [0. 1, 0. 5] Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain. Keadaan demikian ini belum akan kita lihat. 104

Pembagian Interval Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y. Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10] X/Y = [4, 10] [0. 1, 0. 5] = [0. 4, 5] 105

Sifat-Sifat Aritmatika Interval 106

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan biasa yang sudah kita kenal. Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika interval. Ternyata memang demikian. Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok. 107

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif. 108

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi: [0, 0] dan [1, 1] yang dituliskan sebagai 0 dan 1 Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X· 1 Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval: X X 0 dan X/X 1 jika w(X) > 0 109

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah: X (Y + Z) = XY + XZ Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut: 1) Jika Y dan Z adalah interval simetris; 2) Jika YZ > 0 Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku: [0, 1] (1 -1) = 0 tetapi [0, 1] = [ 1, 1] 110

Kuliah Terbuka Aritmatika Interval Sudaryatno Sudirham 111