1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dan persamaan trigonometri bentuk acosx + bsinx 2

Pertidaksamaan Trigonomteri pertidaksamaan yang memuat fungsi trigonometri dengan peubah sudutnya belum diketahui 3

Contoh bentuk-bentuk pertidaksamaan trigonometri 1. sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° 2. √ 2. cosx - 1 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π 3. tanx ≤ √ 3, untuk 0 ≤ x ≤ 180° 4. sin 2 x > ¼, untuk –π ‹ x ‹ π 4

Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan trigonometri berupa satu atau beberapa interval peubah sudut 5

Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan trigonometri ditentukan dengan dua cara: • sketsa grafik fungsi trigonometri • garis bilangan 6

Dengan garis bilangan langkah-langkahnya 1. Tentukan harga-harga nol 2. (pembuat nol fungsi). 2. Gambarkan harga-harga nol pada garis bilangan. 7

3. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada setiap ruas garis dengan menguji salah satu harga x di salah satu ruas garis. 4. Tentukan himpunan penyelesaian sesuai dengan soal. 8

Contoh 1 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sinx° > ½, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…. 9

Penyelesaian ▪ Harga nol dari persamaan sinx° = ½, pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah 30° dan 150° ▪ 0° + 30° 150° 360° ▪ tentukan nilai sinx - ½ pada salah satu ruas garis (interval garis) misal x = 90° sin 90° - ½ = ½ > 0 10

▪ x = 90° sin 90° - ½ = 1 - ½ > 0 + 0° 30° 150° 360° ▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah {x / 30° < x < 150°} 11

Contoh 2 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan cosx° ≤ ½√ 2, untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…. 12

Penyelesaian ▪ Harga nol dari cosx° = ½√ 2, pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah 45° dan 315° ▪ 0° + + 45° 315° 360° ▪ uji interval 0°≤ x < 45° dengan mengambil x = 30°→ cosx - ½√ 2 = cos 30°- ½√ 2 = ½√ 3 - ½√ 2 > 0 13

▪ x = 30° cos 30° - ½√ 2 > 0 + + 0° 45° 315° 360° ▪ karena cosx ≤ ½√ 2 atau cosx - ½√ 2 ≤ 0 (berarti negatif) maka himpunan penyelesaiannya adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°} 14

Contoh 3 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan 2 sin 2 x° < 1, untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah…. 15

Penyelesaian ▪ Pembuat nol dari 2 sin 2 x = 1 → sin 2 x = ½ → sin 2 x = sin 30 2 x = 30 + k. 360 x = 15 + k. 180 k = 0 diperoleh x = 15° 2 x = (180 – 30) + k. 360 x = 75 + k. 180 16

x = 75 + k. 180 k = 0 → x = 75° ▪ harga x = 15° dan x = 75° digambar pada garis bilangan 0° 15° + 75° 180° ▪ diuji x = 45° → sin 2 x - ½ = 1 - ½ > 0 ▪ yang diminta sin 2 x - ½ < 0 (negatif) jadi, himpunan penyelesaiannya: {x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°} 17

Contoh 4 Himpunan penyelesian dari pertidaksamaan cos(2 x + 30)° < ½, untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah…. 18

Penyelesaian ▪ Pembuat nol dari cos(2 x + 30) = ½ → cos(2 x + 30) = cos 60 2 x + 30 = 60 + k. 360 2 x = 30 + k. 360 x = 15 + k. 180 k = 0 diperoleh x = 15° 2 x + 30 = -60 + k. 360 19

cos(2 x + 30) = cos 60 2 x + 30 = -60 + k. 360 2 x = -90 + k. 360 x = -45 + k. 180 k = 1 diperoleh x = 135° ▪ harga x = 15° dan x = 135° digambar pada garis bilangan 0° 15° 135° 180° 20

+ 0° + 15° 135° 180° ▪ Diuji interval 15 < x < 135 dengan mengambil x = 30 → cos(2 x + 30) - ½ = cos 90 - ½ < 0 ▪ yang diminta cos(2 x + 30)° - ½ < 0 (negatif). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x / 15°< x < 135°} 21

Bentuk : a. cosx + b. sinx Bentuk acosx + bsinx dapat diubah ke bentuk k. cos(x – α) dengan k = tan α = 0 ≤ α ≤ 360 22

tan α = sudut α dapat terletak di kuadran I, III atau IV tergantung tanda a dan b a > 0, b > 0 a < 0, b < 0 a > 0, b < 0 α di kuadran I II IV 23

Contoh 1 Ubahlah bentuk cosx + √ 3 sinx menjadi bentuk kcos(x – α) 24

Jawab cosx + √ 3 sinx a = 1 dan b = √ 3 k= k= tan α = 60° Jadi, cosx + √ 3 sinx dapat di ubah menjadi 2 cos(x – 60°) 25

Contoh 2 Ubahlah bentuk -√ 3 cosx + sinx menjadi bentuk kcos(x – α) 26

Jawab -√ 3 cosx + sinx a = -√ 3 dan b = 1 k= k= tan α = (180 – 30)° = 150° Jadi, -√ 3 cosx + sinx dapat di ubah menjadi 2 cos(x – 150°) 27

Contoh 3 Ubahlah bentuk cosx – sinx menjadi bentuk kcos(x – α) 28

Jawab cosx – sinx a = 1 dan b = -1 k= k= tan α = (360 – 45)° = 315° Jadi, cosx - sinx dapat di ubah menjadi √ 2 cos(x – 315°) 29

Contoh 4 Bentuk √ 3 cosx – sinx dapat diubah menjadi bentuk kcos(x – α) adalah…. a. 2 cos(x ) b. 2 cos(x ) c. 2 cos(x ) d. 2 cos(x ) e. 2 cos(x ) 30

Jawab √ 3 cosx – sinx a = √ 3 dan b = -1 k= k= tan α = (2π – )= Jadi, √ 3 cosx - sinx dapat di ubah menjadi 2 cos(x – )→e 31

Contoh 4 Bentuk √ 3 cosx – sinx dapat diubah menjadi bentuk kcos(x – α) adalah…. a. 2 cos(x ) b. 2 cos(x ) c. 2 cos(x ) d. 2 cos(x ) e. 2 cos(x ) 32

Persamaan : a. cosx + b. sinx = c Langkah-langkah penyelesaiannya: ▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – α) ▪ kcos(x – α) = c → cos(x – α) = c/k ▪ selesaikan persamaan sederhananya Syarat dapat diselesaikan: -k ≤ c ≤ k atau lcl ≤ 33

Contoh 1 Nilai x yang memenuhi persamaan -√ 2 cosx° + √ 2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…. jawab: ▪ a = -√ 2 dan b = √ 2 →k= tanα = 34

tanα = → α = 135 ▪ 2 cos(x – 135) = 1 → cos(x – 135) = ½ x – 135 = 60 + k. 360 x = 195 + k. 360 k = 0 → x = 195 35

→ cos(x – 135) = ½ x – 135 = -60 + k. 360 x = 75 + k. 360 k = 0 → x = 75 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 atau 195 36

Contoh 2 Himpunan penyelesaian persamaan √ 3 cosx° - 3 sinx° = √ 3 untuk 0 ≤ x < 360 adalah…. jawab: ▪ a = √ 3 dan b = -3 →k= tanα = 37

tanα = → α = 300 1 ▪ 2√ 3 cos(x – 300) = √ 3 → cos(x – 300) = ½ x – 300 = 60 + k. 360 x = 360 + k. 360 k = -1 → x = 0 38

→ cos(x – 300) = ½ x – 300 = -60 + k. 360 x = 240 + k. 360 k = 0 → x = 240 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0, 240 } 39

Contoh 3 Himpunan penyelesaian persamaan 2√ 3 cos 2 x° - 4 sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…. jawab: ▪ 2√ 3 cos 2 x – 2. 2 sinxcosx = 2 2√ 3 cos 2 x – 2. sin 2 x = 2 1 √ 3 cos 2 x – sin 2 x = 1 40

▪ √ 3 cos 2 x – sin 2 x = 1 a = √ 3, b = -1 → k = =2 tan α = 360° – 30° = 330° ▪ 2 cos(2 x - 330°) = 1 cos(2 x – 330°) = ½ 2 x – 330 = 60 + k. 360 41

▪ 2 x – 330° = 60° + k. 360° 2 x = 390° + k. 360° x = 195° + k. 180° k = -1 → x = 15° → x = k = 0 → x = 195°→ x = ▪ 2 x – 330° = -60° + k. 360° 2 x = 270° + k. 360° x = 135° + k. 180° 42

x = 135° + k. 180° k = 0 → x = 135° → x = k = 1 → x = 315° → x = Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 43

SELAMAT BELAJAR 44