1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menarik

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menarik kesimpulan dengan silogisme, modus ponens, dan modus tollens UN’O 6 2

Logika Matematika Logika merupakan alat untuk menarik kesimpulan yang sahih (sah) UN’O 6 3

Pernyataan/Proposisi Kalimat yang mempunyai salah satu dari nilai benar atau salah disebut proposisi atau pernyataan. Pernyataan ditulis dengan huruf kecil p, q, r dan seterusnya UN’O 6 4

Ingkaran Pernyataan Negasi atau ingkaran dari pernyataan p, ditulis ~p adalah pernyataan lain yang menyangkal pernyataan yang diberikan UN’O 6 5

Tabel Kebenaran Ingkaran p B S ~p S B Contoh: p : hari ini hujan ~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan UN’O 6 6

Pernyataan Majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) dengan menggunakan kata hubung logika Seperti: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika…maka…’, atau ‘…jika dan hanya jika…’ UN’O 6 7

Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk tergantung: ▪ nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya (komponennya) ▪ kata hubung logika yang digunakan UN’O 6 8

Konjungsi Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘dan’. Konjungsi “p dan q” dilambangkan “p Λ q” UN’O 6 9

Tabel Kebenaran Konjungsi p q B B S S B S pΛq B S S S ‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar UN’O 6 10

Disjungsi Pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan menggunakan kata hubung logika ‘atau’. Disjungsi “p atau q” dilambangkan “p V q” UN’O 6 11

Tabel Kebenaran Disjungsi p q B B S S B S p. Vq B B B S ‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah UN’O 6 12

Implikasi Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dalam bentuk ‘jika p maka q’ Implikasi “Jika p maka q” dilambangkan “p → q” UN’O 6 13

Tabel Kebenaran Implikasi p q B B S S B S p→q B S B B ‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah UN’O 6 14

Biimplikasi Pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan p dan q dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan “p ↔ q” UN’O 6 15

Tabel Kebenaran Biimplikasi p q p↔q B B S S B S B S S B ‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai benar atau salah UN’O 6 16

Contoh 1 Kalimat (p → q) → r bernilai benar Jika (1) p benar, q salah, r salah (2) p salah, q benar, r salah (3) p salah, q salah, r benar (4) p salah, q salah, r salah UN’O 6 17

Jawab Pernyataan ke 1 2 3 4 p q (p q ) B S S S B B B r S S B S (p q) r B S Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3) UN’O 6 18

Contoh 2 Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah…. a. ~p b. ~r c. ~q d. p Λ r e. p V ~r UN’O 6 19

Jawab s pernyataan yang salah r → s benar; berarti r salah q → r benar; berarti q salah p ↔ q benar; berarti p salah Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar p Λ r salah; jawaban d p V ~r benar UN’O 6 20

Ekivalensi Pernyataan Majemuk Dua pernyataan majemuk yang ekivalen adalah dua pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama UN’O 6 21

Pernyataan Ekivalen 1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q 2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q 3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) 4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r) UN’O 6 22

Contoh 1: Ingkaran yang benar dari pernyataan “Saya lulus Ujian Nasional dan saya senang” adalah…. UN’O 6 24

(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang (2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang (3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang UN’O 6 25

Jawab: Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q Jadi pernyataan yang benar adalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang UN’O 6 26

Contoh 2: Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah…. a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r e. (~p V q) Λ r Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c UN’O 6 27

Contoh 3: Ingkaran pernyataan: “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah…. a. Guru hadir dan semua murid tidak senang b. Guru hadir dan ada beberapa murid senang c. Guru hadir dan semua murid senang UN’O 6 28

d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang e. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senang Jawab: Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q Jadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah “guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang” jawaban d UN’O 6 29

Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika diketahui implikasi p → q maka: Konversnya adalah q→p Inversnya adalah ~p → ~q Kontraposisinya adalah ~q → ~p Catatan: p → q ≡ ~q → ~p UN’O 6 30

Contoh 1: ~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan…. (1). p V q (2). p Λ q (3). ~q → p (4). ~q Λ ~p Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1) UN’O 6 31

Contoh 2: Pernyataan berikut yang ekivalen dengan: “Jika p benar maka q salah” adalah…. a. p benar atau q salah b. Jika q salah maka p benar c. Jika p salah maka q benar d. Jika q benar maka p salah e. Jika q benar maka p benar UN’O 6 32

Jawab: Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q Jadi “Jika p benar maka q salah” ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah” UN’O 6 33

Penarikan Kesimpulan menentukan pernyataan nilai (konklusi) dari pernyataan (premis) melalui aturan tertentu UN’O 6 34

Suatu kesimpulan (konklusi) dianggap sah jika: ▪ implikasi dari konjungsi premisnya dengan konklusinya adalah tautologi (selalu benar untuk semua kondisi) ▪ Konjungsi semua premisnya benar maka konklusinya benar UN’O 6 35

Penarikan Kesimpulan yang sah Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, di antaranya adalah UN’O 6 36

1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar) p (premis 2 = benar) q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir Hari ini hujan lebat Terjadi banjir UN’O 6 37

2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar) ~q (premis 2 = benar) ~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik UN’O 6 38

3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar) q r (premis 2 = benar) p r (konklusi benar) Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang UN’O 6 39

Soal 1: Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p q ~r ~q r p disebut…. a. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme UN’O 6 40

Bahasan Argumentasi: ~p q ~r ~q ≡ q r (kontraposisi) ~r p ~p r ≡ ~r p (kontraposisi) Jadi, disebut silogisme jawaban e UN’O 6 41

Soal 1: Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p q ~r ~q r p disebut…. a. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. silogisme UN’O 6 42

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q UN’O 6 43

Bahasan p V q ≡ ~p q (ekivalensi) ~p q ≡ ~q p (kontraposisi) dengan demikian p. Vq ~q berarti: ~q p ~q Modus ponens p Jawabannya a UN’O 6 44

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q UN’O 6 45

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 2. p q 3. p ~q 1. p V q q. Vr q ~r ~p p r ~r ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3 UN’O 6 46

Bahasan 1. p V q ~p q (ekivalen) ~p q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens UN’O 6 47

Bahasan 2. p q q ~r ~r ~p p ~r p q q ~r p ~r r ~p (kontraposisi) argumenatsi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme UN’O 6 48

Bahasan 3. p ~q q. Vr p ~q ~q r (ekivalensi) p r argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogisme Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3 d UN’O 6 49

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 2. p q 3. p ~q 1. p V q q. Vr q ~r ~p p r ~r ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3 UN’O 6 50

SELAMAT BELAJAR 51