1 Ruang Euclides dan Ruang Vektor Sub Pokok

1 Ruang Euclides dan Ruang Vektor

Sub Pokok Bahasan Ruang Euclides Ruang Vektor Umum Subruang

Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k) Perkalian Titik (Euclidean inner product) Panjang vektor didefinisikan oleh : Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

Contoh : Diketahui dan Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : Jarak kedua vektor

Ruang Vektor Umum Misalkan dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk setiap 2. 3. 4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku 5. Untuk setiap terdapat sehingga

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap 7. 8. 9. 10. dan k Riil maka

Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) • R : Bilangan real • R 2 : Vektor di bidang • R 3 : Vektor di ruang tiga dimensi 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V. W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W { } 2. W V 3. Jika maka 4. Jika dan k Riil maka

Contoh 1 Tunjukkan bahwa W : himpunan titik-titik R 2 dengan ordinat nol adalah sub ruang dari ruang vektor R 2 Jawab W = {(x, 0) | x R} 1. Titik (0, 0) W 2. Jelas bahwa W R 2 W ≠ { } Maka, W sub ruang di R 2

Contoh 2 Apakah W sub ruang dari ruang vektor R 3 jika W didefinisikan sebagai {(a, b, c) dimana a. b. c = 0} Jawab W = {(a, b, c) dimana a. b. c = 0, a, b, c R} Vektor (1, 2, 0) W W ≠ { } dan W R 3 Misalkan a = (0, 1, 2), b = (2, 1, 0) adalah vector di W c = a + b = (2, 2, 2) c bukan vector di W karena 2. 2. 2 = 8 ≠ 0 W bukan sub ruang di R 3 * Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R 3

Contoh 3: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2 x 2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2 x 2 Jawab : 2. Jelas bahwa W M 2 x 2 3. Ambil sembarang matriks A, B W Tulis dan

Perhatikan bahwa : Ini menunjukan bahwa 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil, maka Ini menunjukan bahwa Jadi, W merupakan Subruang dari M 2 x 2.

Latihan Ruang Vektor dan Subruang Anggap u = (-3, 2, 1, 0), v= (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1). Cari: a. v-w b. 2 u + 7 v c. 6(u-3 v) d. –v-w 2. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2 x 2 berbentuk dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor atau bukan! 3. Buktikan bahwa himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x, y, z) dengan operasi 1. dan Merupakan ruang vektor atau bukan!

KOMBINASI LINEAR DAN MEMBANGUN

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : dimana k 1, k 2, …, kn adalah skalar riil.

Contoh Misal dan adalah vektor-vektor di R 3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari Vektor-vektor di atas

Jawab : a. Tulis akan diperiksa apakah ada k 1, k 2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. Ini dapat ditulis menjadi:

dengan OBE, diperoleh: Dengan demikian, k 1 = 1 dan k 2 = 2 merupakan kombinasi linear dari vektor dan atau

b. Tulis : ini dapat ditulis menjadi:

dengan OBE dapat kita peroleh : Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k 1 dan k 2 yang memenuhi è b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

c. Dengan memilih k 1 = 0 dan k 2 = 0, maka dapat ditulis artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

LATIHAN KOMBINASI LINEAR 1 Diketahui

2. Nyatakanlah matriks sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : , , dan

Definisi membangun/Merentang Himpunan vektor dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh : Tentukan apakah = (1, 1, 2), = (1, 0, 1), dan = (2, 1, 3)

Jawab : Ambil sembarang vektor di R 3 misalkan . Tulis : . Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL itu konsisten haruslah u 3 – u 2 – u 1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R 3

Latihan Membangun Periksa, apakah himpunan A = {6 – x 2 , 6 + x + 4 x 2 } membangun polinom orde 2 !

Himpunan Bebas Linear dan Bergantung Linear

Misalkan adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen : hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni Jika solusinya tidak tunggal, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)

Contoh : Diketahui dan Apakah saling bebas linear di R 3 Jawab : Tulis Sehingga diperoleh sistem persamaan

Contoh : Misalkan , , Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R 3 Jawab : Tulis : atau

dengan OBE diperoleh : Ini menunjukan bahwa k 1, k 2, k 3 merupakan solusi tak hingga banyak Jadi adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Latihan Bebas Linear dan Bergantung Linear 1. Buktikan bahwa vektor-vektor berikut bebas linear atau bergantung linear: a. u= (-1, 2, 4), v= (5, -10, -20) dalam R 3 b. u= (-3, 0, 4), v= (5, -1, 2), w= (1, 1, 3) dalam R 3 2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a. {6 – x 2 , 6 + x + 4 x 2 } b. {1 + 3 x 2, x + 4 x 2, 5 + 6 x + 3 x 2, 7 + 2 x – x 2

BASIS DAN DIMENSI

Definisi Basis Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū 1, ū 2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.

Definisi Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagi jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Disamping itu kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh, dim(R 3)=3, dim P 2=3, dan dim M 22=4

Teorema Jika A adalah suatu matriks nxn, dan jika adalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut ekuivalen: a) A bisa dibalik/A memiliki invers b) Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In d) A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks dasar e) Ax=b konsisten untuk setiap matriks b nx 1 f) Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks b nx 1 g) Det (A) ≠ 0 h) Daerah hasil adalah i) adalah satu-satu

Contoh 1:

Dari syarat (1) diperoleh persamaan: Dari syarat (2) diperoleh persamaan: Berdasarkan teorema, untuk membuktikan bahwa S bebas linear dan merentang dengan menunjukkan bahwa determinan matriks koefisien tidak nol. Sehingga S merupakan suatu basis untuk R 3

Latihan Basis dan Dimensi 1. 2.

3. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P 2) a. {4 + 6 x + x 2, – 1 + 4 x + 2 x 2, 5 + 2 x – x 2} b. {– 4 + x + 3 x 2, 6 + 5 x + 2 x 2, 8 + 4 x + x 2}

Teorema

Teorema

BASIS RUANG KOLOM DAN BASIS RUANG BARIS

Misalkan matriks : Vektor baris Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh : Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : basis ruang baris diperoleh dengan cara mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Latihan Basis Ruang Kolom dan Ruang Baris Tentukan basis ruang kolom dan ruang baris dari matriks