1 Przeksztacenia geometryczne 2 D Przesuwanie Skalowanie Obroty

1 Przekształcenia geometryczne 2 D § Przesuwanie § Skalowanie § Obroty Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej

Matematyka wektorów i macierzy Iloczyn macierzy C = AB Mnożenie macierzy nie jest przemienne AB BA Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 2

Przesunięcie (translacja) x’ = x + dx, y’ = y + dy, Definiując wektory kolumnowe, mamy: Gdzie T jest wektorem translacji P’ = P + T Przesunięcie o wektor. Instytutu (3, -4) Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 3

4 Skalowanie x’ = x • sx y’ = y • sy sx, sy współczynniki skali wzdłuż osi Xi. Y Skalowanie ze współczynnikami sx = 1/2 i sy = 1/4 Definiując macierz przekształcenia, mamy : P’ = P • S Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej

Obroty x = r • cos , y = r • sin x’= r • cos( + ) = r • cos – r • sin = x • cos – y • sin y’ = r • sin( + ) = r • sin cos + r • cos sin = x • sin + y • cos Instytutu Informatyki P. W. 10/05 5 Definując macierz obrotu, mamy : P’ = R • P Zakład Grafiki Komputerowej

6 Podsumowanie W kartezjańskim układzie współrzędnych § Translacja (przesuwanie) P’ = T + P (dodawanie wektorów) § Skalowanie P’ = S • P (mnożenie macierzy) § Rotacja P’ = R • P (mnożenie macierzy) Poszukujemy układu współrzędnych w którym wszystkie operacje wykonywane będą jednolicie. Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej

7 Współrzędne jednorodne • Dodajemy trzecia współrzędną W • Jeśli P 1(x, y, W) = P 2(a • x, a • y, a • W) to P 1 i P 2 reprezentują ten sam punkt • w <> 0 • P(x, y, W) = P(x/w, y/w, 1) Współrzędne kartezjańskie punktu jednorodnego: P (x, y, 1) Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej

Macierze przekształceń we współrzędnych jednorodnyh - translacja x' = x + dx y' = y + dy P' = T(dx, dy) = T • P Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 8

Przykład Punkt (x, y) przesuwamy od dx 1, dy 1 uzyskując punkt P' a następnie ten punkt przesuwamy do P'' o dx 2, dy 2 P' = T 1(dx 1, dy 1) • P = T 1 • P P'' = T 2(dx 2, dy 2) • P' = T 2 • P' P'' = T 2 • P' = T 2 • ( T 1 • P ) = T 2 • T 1 • P = T 21 • P Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 9

10 Macierze przekształceń we współrzędnych jednorodnyh - skalowanie P’ = S(sx 1, sy 1) • P P’’ = S(sx 2, sy 2) • P’= S(sx 2, sy 2) • ( S(sx 1, sy 1) • P) = (S (sx 2, sy 2) • S(sx 1, sy 1)) • P Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej

Macierze przekształceń we współrzędnych jednorodnyh - obrót P' = R( ) • P Przekształcenia pochylające • a, b są współczynnikami proporcjonalności. Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 11

Przykład Obliczyć współrzędne wierzchołków kwadratu jednostkowego, pochylonego wzdłuż osi X ze współczynnikiem proporcjonalności 1/2. Kwadrat opisują wierzchołki P 1(0, 0), P 2(1, 0), P 3(1, 1), P 4(0, 1) P 1' = SHx • P 1 P 2' = SHx • P 2 P 3' = SHx • P 3 P 4' = SHx • P 4 czyli (0, 0) (1, 0) (1, 1) (1 1/2, 1) (0, 1) ( 1/2, 1) Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 12

Obrót względem środka lokalnego układu współrzędnych Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 13

Skalowanie względem lokalnego układu współrzędnych Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 14

Składanie przekształceń T(x 2, y 2) • R( ) • S(sx, sy) • T(-x 1, -y 1) Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 15

Sekwencje przekształceń Złożenie sekwencji macierzy translacji i obrotu daje przekształcenia ciała sztywnego zachowujące kąty i długości Złożenie dowolnej sekwencji macierzy translacji, obrotu i skalowania daje przekształcenia afiniczne (zachowujące równoległość linii) Złożenie operacji R, S i T daje ogólnie macierz postaci: Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 16

Translacja i skalowanie (3 D) Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 17

Obroty (3 D) Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Zakład Grafiki Komputerowej 18

19 Przekształcenia układu współrzędnych Układy współrzędnych § Świata § Obiektu § Składowych obiektu § Urządzenia wyświetlającego Instytutu Informatyki P. W. 10/05 Transformacje układu współrzędnych § Przesuwanie § Skalowanie § Obrót Zakład Grafiki Komputerowej