1 PROPOSICIONES LGICAS La lgica proposicional o tambin

1. PROPOSICIONES LÓGICAS La lógica proposicional o también llamada lógica matemática estudia las proposiciones, entendiendo como tales a los enunciados declarativos que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos ; pero no ambas al mismo tiempo. Ejemplo : Simón bolívar nació en caracas Los pájaros no vuelan 9– 4=8

2. CONECTIVOS LOGICOS Entre las proposiciones se definen ciertas operaciones denominadas conectivos lógicos. Los principales conectivos lógicos son : • • • Negación Disyunción Conjunción Condicional Bicondiciona

2. 1. NEGACIÓN Dada una proposición p, se llama negación de p a la proposición “no p” que se representa por p Ejemplo : Si p : “el hombre es mortal” p: “ el hombre no es mortal”; podemos negar una negación p : “no es cierto que el hombre no es mortal” lo anterior se lee doble no p TABLA DE VERDAD “Si p es verdadera p es falsa; si p es falsa , p es verdadera” p p V F V

2. 2. DISYUNCIÓN dadas las proposiciones p y q , se llama disyunción d p y q a la proposición “p o q” que se representa por p q. Ejemplo : Si p : “hace frio en invierno” y q : “Napoleón invadió Rusia” Entonces : p q : “Hace frio en invierno o Napoleón invadió Rusia” TABLA DE VERDAD “p q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera” p q V V V F F p q V V F 7

2. 3. CONJUNCIÓN Dadas las proposiciones p y q , se llama conjunción de p y q a la proposición “p y q” representada por p q Ejemplo : Si p : “ 1 es un numero impar” y q : “ 3 es un numero primo”, Entonces: p q : “ 1 es un número impar y 3 es un número primo” TABLA DE VERDAD “p q es verdadera si p y q son verdaderas simultáneamente” p q V V V F F p q V F F 8

2. 4. EL CONDICIONAL se llama condicional de p y q a la proposición “si p entonces q” y se representa por “p q “ , p se llama antecedente y q consecuente del condicional p q Ejemplo: Si p : “ 2 es número primo” y q : “ 5 es menor que 4” Entonces: p q: “si 2 es número primo entonces 5 es menor que 4” TABLA DE VERDAD p q es verdadera si p es falsa o q es verdadera “ p q p q V V V F F V F F V F V 9

2. 5. EL BICONDICIONAL se llama bicondicional de dos proposiciones p y q a la proposición “p si y sólo si q” representada por “p q” Ejemplo : p : “ Juan ingresa a la universidad” q : “Juan estudia mucho” Entonces: p q : “Juan ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho” TABLA DE VERDAD “p q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas” p q p q V V V F F V F F V F V 10

3. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición es simple si no contiene ningún conectivo lógico. Una proposición es compuesta si contiene al menos un conectivo lógico Ejemplo: “Lima es la capital del Perú” “el perro es un animal cuadrúpedo” “dos es un numero par” “Hace calor o hace frío” “Gabriel va al parque si y solo si tiene dinero” “si cuatro es par, entonces, es 11 divisible por dos”

TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Sea la proposición compuesta “ (p q ) r” N Distinguimos aquí “el condicional” como el conectivo lógico principal que caracteriza a la proposición. N Es decir, identificamos a esta proposición como un condicional. N En este caso no es dificil hacer tal identificación ya que está sugerida por el paréntesis el cual nos indica que primero debe efectuarse la disyunción p q y después el condicional (p q) r N En caso de no existir signos de colección , adoptamos la convención de que el conectivo “ ” liga con más fuerza que “ ” o “ ” , y a su vez , cada uno de estos liga con mayor fuerza que “ ” o “ ” 12

EJEMPLO: (p q) q p 13

EJEMPLO 2:

4. TAUTOLOGIA Y CONTRADICCIONES Ï En lógica proposicional es de mucha importancia el estudio de las proposiciones compuestas que tienen la propiedad de ser verdaderas siempre, dichas proposiciones se denominan tautologías Ð Una proposición compuesta es una contradicción si es siempre falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de sus componentes Nota : las proposiciones que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias 15

EJEMPLO: p p es una tautología p p es una contradicción En efecto: 2 1 p p p p V F V V F F F V F V F V F En la columna 2 vemos que esta proposición siempre es verdadera En la columna 2 vemos que esta proposición siempre es falsa

ESPERO QUE ESTE MATERIAL PUEDA ACLARARLES LAS DUDAS. El mundo se esta quedando sin genios: Einstein murió, Beethoven se quedo sordo y a mi me duele la cabeza