1 Programao Linear Inteira Pura PLIP Modelo linear

  • Slides: 75
Download presentation
1

1

Programação Linear Inteira Pura (PLIP) Modelo linear só com variáveis inteiras Programação Linear Inteira

Programação Linear Inteira Pura (PLIP) Modelo linear só com variáveis inteiras Programação Linear Inteira Mista (PLIM) Modelo linear com variáveis inteiras e contínuas Programação Linear Inteira Binária (PLIB) Modelo linear só com variáveis binárias 2

Geometria em Espaço Contínuo Ponto Ótimo é sempre Extremo do espaço de soluções admissíveis

Geometria em Espaço Contínuo Ponto Ótimo é sempre Extremo do espaço de soluções admissíveis 3

Geometria em Espaço Discreto Ponto Ótimo pode ou não ser Extremo do espaço de

Geometria em Espaço Discreto Ponto Ótimo pode ou não ser Extremo do espaço de soluções admissíveis PLIP 4

Geometria Espaço Contínuo Espaço Discreto Número Infinito de pontos "candidatos" a Ponto Ótimo Número

Geometria Espaço Contínuo Espaço Discreto Número Infinito de pontos "candidatos" a Ponto Ótimo Número Finito de pontos (6 neste caso)"candidatos" a Ponto Ótimo Então isto é Simples !!! 5

Geometria Espaço Discreto Olhe que não ! Isto dá uma trabalheira… Número Finito de

Geometria Espaço Discreto Olhe que não ! Isto dá uma trabalheira… Número Finito de pontos (6 neste caso)"candidatos" a Ponto Ótimo Então isto é Simples !!! 6

Revista "Fortune" Inquérito a 500 empresas 85% afirmam usar modelos de Programação Inteira Porquê

Revista "Fortune" Inquérito a 500 empresas 85% afirmam usar modelos de Programação Inteira Porquê esta "popularidade"? • Muitas e variadas situações da vida real podem ser matematizadas em Programação Inteira. • Há muitos algoritmos eficientes para resolver este tipo de problemas. 7

O uso de Variáveis Inteiras dificulta o cálculo da solução ótima. "Memória" e "Tempo

O uso de Variáveis Inteiras dificulta o cálculo da solução ótima. "Memória" e "Tempo de Cálculo" podem aumentar exponencialmente com o aumento do número de variáveis. Recorrendo a algoritmos sofisticados e super computadores há modelos com poucas centenas de variáveis inteiras de que ainda não é possível calcular a solução ótima. Porquê? Porque é necessário testar um elevado número de combinações de valores inteiros de cada uma das variáveis e para cada uma destas combinações é necessário calcular a solução ótima. 8

Espaço Contínuo Solução Ótima do PLIP Podemos obtê-la arredondando a solução ótima contínua? Temos

Espaço Contínuo Solução Ótima do PLIP Podemos obtê-la arredondando a solução ótima contínua? Temos x 1 = 1. 33 e x 2 = 1. 33 Arredondamentos possíveis Problema relaxado (1, 2 ) (2, 2 ) (1. 3, 1. 3) (1, 1 ) Não pertencem ao soluções admissíveis (2, 1 ) espaço de 9

Solução Ótima do PLIP Obtida solução ótima !!! Podemos obtê-la arredondando a solução ótima

Solução Ótima do PLIP Obtida solução ótima !!! Podemos obtê-la arredondando a solução ótima contínua? Resultou mas … Temos x 1 = 1. 33 e x 2 = 1. 33 Resultará sempre? Arredondamentos possíveis (1, 2 ) (2, 2 ) (1. 3, 1. 3) (1, 1 ) Não pertencem ao soluções admissíveis (2, 1 ) espaço de 10

Arredondar a solução ótima contínua para obter a solução ótima do PLIP Arredondamentos possíveis

Arredondar a solução ótima contínua para obter a solução ótima do PLIP Arredondamentos possíveis Problema relaxado (0. 8, 2. 4) (0, 3 ) (1, 3 ) (0. 8, 2. 4) (0, 2 ) Não pertencem ao soluções admissíveis (1, 2 ) espaço de Espaço Contínuo 11

Arredondar a solução ótima contínua para obter a solução ótima do PLIP No espaço

Arredondar a solução ótima contínua para obter a solução ótima do PLIP No espaço de soluções admissíveis há apenas dois pontos com coordenadas inteiras: • (0, 0) Problema relaxado (0. 8, 2. 4) • (0, 1) sendo x 1=0 e x 2=1 a solução ótima. Notar que esta solução não pode obter-se por arredondamento da solução ótima contínua. CONCLUSÃO Espaço Contínuo Arredondar a solução ótima contínua só por acaso conduz à solução ótima do PLIP 12

Afinal a solução ótima contínua tem ou não tem interesse ? 13

Afinal a solução ótima contínua tem ou não tem interesse ? 13

A SOLUÇÃO ÓTIMA CONTÍNUA É ESSENCIAL PARA Ponto de Partida do cálculo a solução

A SOLUÇÃO ÓTIMA CONTÍNUA É ESSENCIAL PARA Ponto de Partida do cálculo a solução ótima do PLIP 14

15

15

Método Branch and Bound Relaxar a Integralidade "Esquecer" a condição de Integralidade Calcular a

Método Branch and Bound Relaxar a Integralidade "Esquecer" a condição de Integralidade Calcular a solução ótima do problema relaxado Problema relaxado 16

Método Branch and Bound Relaxar a Integralidade Se a solução ótima do problema relaxado

Método Branch and Bound Relaxar a Integralidade Se a solução ótima do problema relaxado fosse admissível para o PLIP (x 1 e x 2 com valor inteiro) então a solução ótima deste último estava calculada. Infelizmente tal não sucede neste problema. A solução ótima do problema relaxado vai ser usada como Ponto de Partida para calcular a solução ótima do PLIP. Problema relaxado 17

Método Branch and Bound Limite Superior de f(X) do PLIP Problema relaxado A figura

Método Branch and Bound Limite Superior de f(X) do PLIP Problema relaxado A figura mostra que f(X) nunca ultrapassa o valor 42. 25. CONCLUSÃO Max f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE SUPERIOR do valor de f(X) do PLIP 18

Auto Teste O valor de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE SUPERIOR do

Auto Teste O valor de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE SUPERIOR do valor de f(X) do PLIP SIM NÃO 19

Bingo ! O valor ótimo de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE SUPERIOR

Bingo ! O valor ótimo de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE SUPERIOR do valor ótimo de f(X) do PLIP … SE E SÓ SE O PROBLEMA É DE MAXIMIZAÇÃO 20

O valor ótimo de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE INFERIOR do valor

O valor ótimo de f(X) do problema relaxado é sempre LIMITE INFERIOR do valor ótimo de f(X) do PLIP … SE E SÓ SE O PROBLEMA É DE MINIMIZAÇÃO 21

Problema relaxado Ótimo x 1=5. 2 ; x 2=2. 38 Max f(X)=8. 77 Problema

Problema relaxado Ótimo x 1=5. 2 ; x 2=2. 38 Max f(X)=8. 77 Problema Inteiro Ótimo x 1=3 ; x 2=3 Max f(X)=7. 5 Máximo de f(X) do PLIP é < 8. 77 22

Problema relaxado Ótimo x 1=3. 65 ; x 2=0. 88 Min f(X)=24. 8 Problema

Problema relaxado Ótimo x 1=3. 65 ; x 2=0. 88 Min f(X)=24. 8 Problema Inteiro Ótimo x 1=2 ; x 2=2 Min f(X)=44 Mínimo de f(X) do PLIP é > 24. 8 23

Método Branch and Bound Conceito de Branch (Partição) Considere-se a seguinte solução, não admissível,

Método Branch and Bound Conceito de Branch (Partição) Considere-se a seguinte solução, não admissível, para o PLIP: Problema relaxado Variável x 1=2. 25 tem valor fracionário que não é admissível. Podemos eliminar o espaço fracionário onde este valor se encontra. Tal obriga a fazer o BRANCH (partição) nesta variável. Desta partição resultam, naturalmente, dois sub problemas descendentes: • um com a restrição x 1 < 2 (valor inteiro imediatamente inferior a 2. 25 é 2) • outro com a restrição x 1 > 3 (valor inteiro imediatamente superior a 2. 25 é 3) 24

Método Branch and Bound Branch na Variável x 1=2. 25 Problema relaxado x 1

Método Branch and Bound Branch na Variável x 1=2. 25 Problema relaxado x 1 < 2 Partição na variável x 1 > 3 Resultam dois sub problemas distintos 25

Branch na Variável x 1=2. 25 (valor não admissível) Solução ótima (problema relaxado) Sub

Branch na Variável x 1=2. 25 (valor não admissível) Solução ótima (problema relaxado) Sub problemas descendentes 26

Solução ótima (problema relaxado) Optando pela Partição na Variável x 2=3. 75 teríamos …

Solução ótima (problema relaxado) Optando pela Partição na Variável x 2=3. 75 teríamos … 27

Método Branch and Bound Branch na Variável x 2=3. 75 Problema relaxado x 2

Método Branch and Bound Branch na Variável x 2=3. 75 Problema relaxado x 2 < 3 x 2 > 4 28

Branch na Variável x 2=3. 75 (valor não admissível) Solução ótima (problema relaxado) Sub

Branch na Variável x 2=3. 75 (valor não admissível) Solução ótima (problema relaxado) Sub problemas descendentes 29

Conceito de Branch (Partição) Problema relaxado • Escolher uma variável xj com valor não

Conceito de Branch (Partição) Problema relaxado • Escolher uma variável xj com valor não admissível (fracionário) • Fixar os valores inteiros adjacentes do valor da variável: i 1 adjacente à esquerda ; i 2 adjacente à direita • Formalizar 2 novos sub problemas: um com xj < i 1 e outro com xj > i 2 30

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Solução do problema relaxado da condição de integralidade 31

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Solução do problema relaxado da condição de integralidade 31

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 32

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 32

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 33

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 33

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 34

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch 34

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch Ótimo Eu avisei… Isto dá uma trabalheira… 35

Árvore Gerada por "Branch" Raiz Branch Ótimo Eu avisei… Isto dá uma trabalheira… 35

Auto Teste (ligue o som) O modelo de Maximização tem a variável x 1

Auto Teste (ligue o som) O modelo de Maximização tem a variável x 1 > 0 e Inteira. Calculou a solução ótima e tem x 1 = 10. 65 (não admissível) Para fazer "Branch" nesta variável: Aumenta o problema corrente com a restrição x 1 > 10 Aumenta o problema corrente com a restrição x 1 > 11 Divide o problema corrente em dois sub problemas: • um deles é o problema corrente aumentado com a restrição x 1 < 10 • o outro é o problema corrente aumentado com a restrição x 1 > 11 36

Método Branch and Bound Conceito de Bound (Limite) Admita que ao calcular a solução

Método Branch and Bound Conceito de Bound (Limite) Admita que ao calcular a solução ótima de um PLIP está na seguinte situação: Raiz 1 Solução não admissível com Max f(X) = 74. 5 Não admissível 2 Admissível f(X) = 70. 8 f(X) = 68. 5 O sub problema 2 tem solução admissível com f(X) = 70. 8 A solução do sub problema 1 não é admissível e tem f(X) = 68. 5 < 70. 8 Conceito de LIMITE (em maximização): os sub problemas gerados a partir do sub problema 1 nunca terão valor de f(X) superior a 68. 5 Conclusão Não se faz partição no sub problema 1 e a solução ótima é a gerada pelo sub problema 2 com solução admissível e Max f(X) =70. 8 37

Agililizar o conceito de Bound (Limite) Admita a maximização de um PLIP Numa barra

Agililizar o conceito de Bound (Limite) Admita a maximização de um PLIP Numa barra registe apenas o valor de f(X) para soluções admissíveis: 70. 8 Não se esqueça no (método arranque, Simplex) considera igual arelaxado: "Menos Infinito" Calcule a soluçãoque, ótima dof(X) problema Raiz Solução não admissível com Max f(X) = 74. 5 Efetue a partição e calcule a solução ótima (método Simplex) dos dois sub problemas: 1 Não admissível 2 Admissível f(X) = 70. 8 Registar f(X) = 68. 5 Está pendente, para análise o sub problema 1: não admissível com f(X)=68. 5 Compare f(X)=68. 5 com o valor máximo registado na barra. Como é inferior não efetua partição no sub problema 1. Como não há mais sub problemas pendentes, a solução ótima é a que tem f(X)=70. 8 38

1º Exemplo "Esquecer" a condição de Integralidade Calcular a solução ótima do problema relaxado

1º Exemplo "Esquecer" a condição de Integralidade Calcular a solução ótima do problema relaxado da restrição lógica de integralidade Solução Não Admissível 39

1º Exemplo Partição: variável x 1 f(X) x 1 < 2 2 x 1

1º Exemplo Partição: variável x 1 f(X) x 1 < 2 2 x 1 > 3 Nível 1 1 Notar que o valor máximo da função objetivo do PLIP é menor ou igual a 41. 25 Calcular a solução ótima dos sub problemas 1 e 2 40

1º Exemplo x 1 < 2 x 1 > 3 2 Nível 1 f(X)

1º Exemplo x 1 < 2 x 1 > 3 2 Nível 1 f(X) 1 Decisões Sub problema 1 Solução admissível. Registar f(X) = 39 como limite inferior de f(X) do PLIP. No futuro, só os sub problemas com solução não admissível e com f(X) > 39 serão sujeitos a Partição. Sub problema 2 Solução não admissível com f(X) = 41. 11 Porque f(X) tem valor superior a 39 (limite inferior corrente) será efetuada Partição. 41

1º Exemplo x 1 < 2 2 x 1 > 3 1 Nível 1

1º Exemplo x 1 < 2 2 x 1 > 3 1 Nível 1 f(X) x 2 < 3 x 2 > 4 4 Sub problema 2 Nível 2 PARTIÇÃO (x 2 > 4 e x 2 < 3) 3 39 Calcular a solução ótima dos sub problemas 3 e 4 42

1º Exemplo Decisões Sub problema 3 Solução não admissível com f(X) = 41 Valor

1º Exemplo Decisões Sub problema 3 Solução não admissível com f(X) = 41 Valor de f(X) superior ao limite inferior corrrente (39). f(X) Efetuar Partição. 2 Sub problema 4 x 2 <com f(X)=34. Sem interesse por xser 2 >inferior ao limite inferior Solução admissível 4 corrente (f(X) 3= 39). 4 Nível 2 3 39 43

1º Exemplo 3 f(X) Sub problema 3 PARTIÇÃO (x 1 > 2 e x

1º Exemplo 3 f(X) Sub problema 3 PARTIÇÃO (x 1 > 2 e x 1 < 1) 39 44

1º Exemplo x 1 < 1 6 3 x 1 > 2 Nível 3

1º Exemplo x 1 < 1 6 3 x 1 > 2 Nível 3 5 f(X) 39 Calcular a solução ótima dos sub problemas 5 e 6 45

1º Exemplo x 1 < 1 f(X) 6 3 Nível 3 x 1 >

1º Exemplo x 1 < 1 f(X) 6 3 Nível 3 x 1 > 2 5 Sem solução 39 Decisões Sub problema 5 Não tem solução. Sub problema 6 Solução não admissível com f(X)=40. 55, superior ao limite inferior corrente. Efetuar Partição. 46

1º Exemplo 6 f(X) Sub problema 6 PARTIÇÃO (x 2 > 5 e x

1º Exemplo 6 f(X) Sub problema 6 PARTIÇÃO (x 2 > 5 e x 2 < 4) 39 47

1º Exemplo x 2 < 4 f(X) 8 6 x 2 > 5 Nível

1º Exemplo x 2 < 4 f(X) 8 6 x 2 > 5 Nível 4 7 39 Calcular a solução ótima dos sub problemas 7 e 8 48

1º Exemplo x 2 < 4 f(X) 8 6 x 2 > 5 Nível

1º Exemplo x 2 < 4 f(X) 8 6 x 2 > 5 Nível 4 7 40 39 Decisões Sub problema 7 Solução admissível com f(X)=40, superior ao limite inferior corrente. Novo limite inferior é f(X)=40. Sub problema 8 Solução admissível com f(X)=37 < 40. Sem interesse. 49

1º Exemplo - Árvore Cálculo por Níveis f(X) Não Admissível 0 x 1 <

1º Exemplo - Árvore Cálculo por Níveis f(X) Não Admissível 0 x 1 < 2 f(X) = 34 x 1 > 3 1 Admissível f(X) = 39 Nível 1 x 2 > 4 x 2 < 3 40 f(X) = 41. 25 2 f(X) = 41. 11 Admissível Não Admissível 4 3 Não Admissível Nível 2 f(X) = 41 39 x 1 < 1 Não Admissível x 1 > 2 6 5 Sem solução 7 Admissível Nível 3 f(X) = 40. 55 x 2 < 4 Admissível f(X) = 37 8 x 2 > 5 f(X) = 40 Nível 4 50

1º Exemplo - Árvore Cálculo por Ramos f(X) 40 37 Não Admissível 0 x

1º Exemplo - Árvore Cálculo por Ramos f(X) 40 37 Não Admissível 0 x 1 < 2 x 1 > 3 8 Admissível f(X) = 39 x 2 > 4 x 2 < 3 f(X) = 34 f(X) = 41. 25 1 f(X) = 41. 11 Admissível Não Admissível 2 3 Não Admissível f(X) = 41 34 x 1 < 1 Não Admissível x 1 > 2 4 7 Sem solução 6 Admissível f(X) = 40. 55 x 2 < 4 Admissível f(X) = 37 5 x 2 > 5 f(X) = 40 51

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 1. Inicialização Calcular a solução

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 1. Inicialização Calcular a solução ótima (método Simplex) relaxando a condição de integralidade • se a solução é admissível então é solução ótima do PLIP • se a solução não é admissível • considerar f(X) = - para limite inferior corrente • efetuar a partição numa variável com valor fracionário 52

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 2. Branch (Partição) Selecionar com

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 2. Branch (Partição) Selecionar com valor Em ambienteuma devariável Maximização se fracionário há, no mesmo nível, 2 sub problemas para dar prioridade ao que temà f(X) com e Estabelecer os Partição, valores inteiros, i 1 e i 2, adjacentes esquerda maior valor. direita do valor fracionário Se ambiente a variável de é xj. Minimização estabelecer dar duasprioridade restriçõesao técnicas: Em que tem f(X) com menor valor. xj < i 1 xj > i 2 Aumentar o sub problema em estudo com uma destas restrições (primeiro sub problema descendente) e com a outra (segundo sub problema descendente) Calcular a solução ótima dos novos sub problemas 53

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 3. Bound (Limitar) Eliminar de

BRANCH AND BOUND – Maximização de um PLIP Passo 3. Bound (Limitar) Eliminar de futura partição se o sub problema: • não tem solução • tem solução com valor de f(X) inferior ao limite inferior corrente (seja ou não a solução admissível) • tem solução admissível Se o sub problema tem solução admissível com f(X) superior ao limite inferior corrente substituir este pelo novo valor 54

Tipos de Partição 1. Por Níveis No mesmo nível efetuar a partição do sub

Tipos de Partição 1. Por Níveis No mesmo nível efetuar a partição do sub problema com maior valor de f(X), no caso da maximização. No mesmo nível efetuar a partição do sub problema com menor valor de f(X), no caso da minimização. 2. Por Ramos (é o mais utilizado em software) 55

2º Exemplo Problema relaxado da condição de inteiro Calcular a solução ótima do problema

2º Exemplo Problema relaxado da condição de inteiro Calcular a solução ótima do problema relaxado Solução não admissível (x 1 tem valor fracionário) Efetuar Partição em x 1 (inteiros adjacentes são 4 e 5) 56

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 2 x 1 > 5 Nível

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 2 x 1 > 5 Nível 1 1 f(X) Calcular a solução ótima dos sub problemas 1 e 2 57

2º Exemplo Partição: variável x 1 > 5 Cálculo manual da solução 1 1

2º Exemplo Partição: variável x 1 > 5 Cálculo manual da solução 1 1 x 1=5 (limite inferior) Substituindo temos: x 2 > 10/7 x 2 > 2 Para minimizar f(X) o melhor é x 2 = 2 Solução: f(X) x 1 = 5 x 2 = 2 f(X) = 46 58

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 2 Cálculo manual da solução 2

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 2 Cálculo manual da solução 2 x 1=4 (limite superior) Substituindo temos: x 2 > 16/7 x 2 > 2 Para minimizar f(X) o melhor é x 2 = 16/7 f(X) Solução: x 1 = 4 x 2 = 16/7 f(X) = 296/7 59

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 x 1 > 5 2 1

2º Exemplo Partição: variável x 1 < 4 x 1 > 5 2 1 46 Partição em x 2 (296/7 < 46) f(X) 60

2º Exemplo 2 Partição: variável x 2 > 3 x 2 < 2 4

2º Exemplo 2 Partição: variável x 2 > 3 x 2 < 2 4 Nível 2 3 46 f(X) Calcular a solução ótima dos sub problemas 3 e 4 61

2º Exemplo 2 Cálculo manual da solução 3 Partição: variável x 2 > 3

2º Exemplo 2 Cálculo manual da solução 3 Partição: variável x 2 > 3 3 x 2=3 (limite inferior) 46 Substituindo temos: x 1 > 19/6 x 1 < 4 Para minimizar f(X) o melhor é x 1 = 19/6 f(X) Solução: x 1 = 19/6 x 2 = 3 f(X) = 43 62

Regra para escolher o valor de uma variável num dado intervalo Cálculo manual da

Regra para escolher o valor de uma variável num dado intervalo Cálculo manual da solução 3 Substituindo temos: x 1 > 19/6 x 1 < 4 19/ 6 ? 4 x 1 Para escolher o melhor valor dos extremos de um intervalo, consulte sempre o coeficiente da variável em f(X) e atenda à finalidade desta. Neste caso temos: Minimizar f(X) onde x 1 tem coeficiente positivo. Resulta assim que o extremo inferior do intervalo é o mais favorável para f(X), razão porque foi selecionado. 63

Regra para escolher o valor de uma variável num dado intervalo Admita que tem:

Regra para escolher o valor de uma variável num dado intervalo Admita que tem: x 1 > 1/2 x 1 < 4 1/2 ? 4 x 1 Neste caso teríamos: Minimizar f(X) onde x 1 tem coeficiente negativo. Resulta assim que o extremo superior do intervalo é o mais favorável para f(X), pelo que se decidiria x 1=4 64

2º Exemplo 2 Partição: variável x 2 < 2 Sem solução 4 Cálculo manual

2º Exemplo 2 Partição: variável x 2 < 2 Sem solução 4 Cálculo manual da solução 4 x 2=2 (limite inferior) 46 Substituindo temos: x 1 > 13/2 x 1 < 4 Não tem solução f(X) 65

2º Exemplo (cont. ) Sem solução Partição: variável x 2 2 x 2 >

2º Exemplo (cont. ) Sem solução Partição: variável x 2 2 x 2 > 3 x 2 < 2 4 Nível 2 3 46 f(X) = 43 < Limite superior corrente (46) (pode gerar solução admissível com f(X) < 46) f(X) Partição em x 1 66

2º Exemplo 3 Partição: variável x 1 > 4 x 1 < 3 6

2º Exemplo 3 Partição: variável x 1 > 4 x 1 < 3 6 Nível 3 5 46 f(X) Calcular a solução ótima dos sub problemas 5 e 6 67

2º Exemplo 3 Cálculo manual da solução 5 Partição: variável x 1 > 4

2º Exemplo 3 Cálculo manual da solução 5 Partição: variável x 1 > 4 5 x 1=4 (limite inferior) 46 Substituindo temos: x 2 > 16/7 x 2 > 2 x 2 > 3 f(X) Solução: x 1 = 4 x 2 = 3 f(X) = 48 68

2º Exemplo 3 x 1 < 3 6 46 Partição: variável x 1 Cálculo

2º Exemplo 3 x 1 < 3 6 46 Partição: variável x 1 Cálculo manual da solução 6 x 1=3 (limite inferior) Substituindo temos: x 2 > 22/7 x 2 > 2 x 2 > 3 f(X) Para minimizar f(X) o melhor é x 2 = 22/7 Solução: x 1 = 3 x 2 = 22/7 f(X) = 302/7 69

2º Exemplo 3 Partição: variável x 1 > 4 x 1 < 3 6

2º Exemplo 3 Partição: variável x 1 > 4 x 1 < 3 6 46 Nível 3 5 f(X) < Limite superior corrente (46) Solução admissível com f(X) =48 Sem interesse. (pode gerar solução admissível com f(X) < 46) Já há solução admissível com f(X) inferior… Partição em x 2 f(X) 70

2º Exemplo 6 Partição: variável x 2 > 4 x 2 < 3 8

2º Exemplo 6 Partição: variável x 2 > 4 x 2 < 3 8 Nível 4 7 46 f(X) Calcular a solução ótima dos sub problemas 7 e 8 71

2º Exemplo 6 Cálculo manual da solução 7 Partição: variável x 2 > 4

2º Exemplo 6 Cálculo manual da solução 7 Partição: variável x 2 > 4 7 x 2=4 (limite inferior) 46 Substituindo temos: x 1 > 2 x 1 < 4 x 1 < 3 f(X) Solução: x 1 = 2 x 2 = 4 f(X) = 44 72

2º Exemplo 6 Sem solução 46 x 2 < 3 8 Partição: variável x

2º Exemplo 6 Sem solução 46 x 2 < 3 8 Partição: variável x 2 Cálculo manual da solução 8 x 2=3 (limite inferior) Substituindo temos: x 1 > 19/6 x 1 < 4 x 1 < 3 f(X) Sem solução 73

2º Exemplo 6 Sem solução Partição: variável x 2 > 4 x 2 <

2º Exemplo 6 Sem solução Partição: variável x 2 > 4 x 2 < 3 8 Nível 4 7 46 44 f(X) 74

75

75