1 Odhad parametrov MSW modelu Uvaujme mstavov MSW

  • Slides: 15
Download presentation
1. Odhad parametrov MSW modelu Uvažujme m-stavový MSW model s diskrétnym Markovovským stochastickým procesom

1. Odhad parametrov MSW modelu Uvažujme m-stavový MSW model s diskrétnym Markovovským stochastickým procesom qt. Označme p = max(p 1, . . . , pm): kde qt {1, 2, . . . , m}, t je proces typu i. i. d s nulovou strednou hodnotou a rozptylom 2. Označme P 1 = PT, kde P je matica prechodových pravdepodobností typu m x m:

Reprezentácia Markovovho reťazca pomocou vektorovej autoregresie Označme t náhodný m x 1 vektor, ktorého

Reprezentácia Markovovho reťazca pomocou vektorovej autoregresie Označme t náhodný m x 1 vektor, ktorého j-ty element je rovný jednotke, ak qt = j , inak je j-ty element rovný nule: Ak qt = i, potom j-ty element t+1 je náhodná premenná, ktorá nadobúda 1 s pravdepodobnosťou pi, j, 0 inak. Táto náhodná premenná má strednú hodnotu pi, j. Potom podmienená stredná hodnota premennej t+1 za podmienky qt = i má tvar:

Z Markovovej vlastnosti 1. rádu vyplýva: Markovov reťazec v tvare vektorovej autoregresie prvého rádu:

Z Markovovej vlastnosti 1. rádu vyplýva: Markovov reťazec v tvare vektorovej autoregresie prvého rádu: (1) Náhodný vektor t+k: Teda predpovede pre Markovov reťazec k periód dopredu:

Označme 1 = (1, . . . , 1)’‚ t. j. (m x 1)

Označme 1 = (1, . . . , 1)’‚ t. j. (m x 1) vektor zložený zo samých jednotiek. Pre ergodický Markovov reťazec platí: teda 1 je vlastné číslo matice P a 1 je prislúchajúci vlastný vektor. Nech je vektor, pre ktorý platí: teda je vlastný vektor matice P 1 prislúchajúci k vlastnému číslu = 1. Budeme ho nazývať vektor ergodických pravdepodobností Platí: Vektor predstavuje nepodmienené pravdepodobnosti, v akom režime sa proces nachádza v ľubovoľnom čase. Označme Potom

Príklad: Vektor ergodických pravdepodobností π = (0. 68676, 0. 263724, 0. 0495156)'

Príklad: Vektor ergodických pravdepodobností π = (0. 68676, 0. 263724, 0. 0495156)'

Pri MSW modeloch potrebujeme odhadnúť: q počet stavov m, t. j. určiť S =

Pri MSW modeloch potrebujeme odhadnúť: q počet stavov m, t. j. určiť S = {1, 2, . . . , m} q rozdelenie pravdepodobnosti prechodu z jedného stavu do druhého: pi, j = Pr(qt = j | qt-1 = i), 1 i, j m. Predpokladáme ergodický proces pi, j > 0. q vektor ergodických pravdepodobností = ( 1, . . . , m)', q autoregresné parametre v jednotlivých režimoch a reziduálny rozptyl , t. j. p = max(p 1, . . . , pm), i = { i, 0, i, 1, . . . , i, p}, 2, i = 1, . . . , m q postupnosť stavov Q = {q 1, q 2, . . . , qn}, ktorá maximalizuje Pr( n, Q | ), kde n = {X 1, …, Xn}, = (P, ). Odhaduje sa pravdepodobnosť, s ktorou nastane stav i v čase t. Nakoniec sa v každom čase t vyberie stav qt s najväčšou pravdepodobnosťou.

Uvažujme dvojrežimový MSW model s AR(p) v obidvoch režimoch kde qt {1, 2}, t

Uvažujme dvojrežimový MSW model s AR(p) v obidvoch režimoch kde qt {1, 2}, t je proces typu i. i. d s nulovou strednou hodnotou a rozptylom 2. Označme: Y = (1, Xt-1, . . . , Xt-p)'‚ i = ( i, 0, i, 1, . . . , i, p)‘ i = 1, 2 vektor odhadovaných parametrov t-1 = {Xt-1, Xt-2, . . . } históriu hodnôt pozorovateľnej premennej Ak je proces v režime j (j = 1, 2), pozorovateľná premenná Xt má podmienenú hustotu : Označme:

Predpokladajme: Označme pravdepodobnosť Pr(qt = j| t, ), s akou bolo pozorovanie v čase

Predpokladajme: Označme pravdepodobnosť Pr(qt = j| t, ), s akou bolo pozorovanie v čase t generované režimom j (založenú na získaných dátach do času t a znalosti parametrov ) nazývame filtrované pravdepodobnosti. nazývame predikované pravdepodobnosti (vyjadrujú pravdepodobnosť, že proces sa bude v čase t nachádzať v režime j, j = 1, 2 za dostupnosti informácií o pozorovaniach do času t-1).

Platí: Označme symbolom násobenie odpovedajúcich prvkov dvoch vektorov. Potom Hustota pozorovateľnej premennej Xt podmienenej

Platí: Označme symbolom násobenie odpovedajúcich prvkov dvoch vektorov. Potom Hustota pozorovateľnej premennej Xt podmienenej minulými pozorovaniami: Potom Z toho

Uvažujme rovnicu (1) a jej strednú hodnotu podmienenú históriou t: Pretože E t+1| t]

Uvažujme rovnicu (1) a jej strednú hodnotu podmienenú históriou t: Pretože E t+1| t] = 0 Parametre odhadneme maximalizáciou logaritmu vierohodnostnej funkcie pre časový rad n s parametrami θ, ktorý má tvar: Na základe filtrovaných a predikovaných pravdepodobností môžeme odhadnúť tzv. vyhladené pravdepodobnosti P(qt = j| n, ), tzn. pravdepodobnosť, s akou nastane režim j v čase t za predpokladu informácií o pozorovaniach celého časového radu n pre j = 1, 2: Znak znamená, že delíme odpovedajúce prvky dvoch vektorov.

Maximálne vierohodné odhady prechodových pravdepodobností sú dané vzťahom: Očakávaný počet prechodov zo stavu i

Maximálne vierohodné odhady prechodových pravdepodobností sú dané vzťahom: Očakávaný počet prechodov zo stavu i do j Očakávaný počet všetkých prechodov zo stavu i kde Zadefinujeme dve pomocné funkcie: Potom:

MLE odhady parametrov Odhad kde vypočítame nasledovne: spĺňajú rovnice:

MLE odhady parametrov Odhad kde vypočítame nasledovne: spĺňajú rovnice:

Iteračná procedúra odhadov parametrov MSW modelu: 1. S danými štartovacími hodnotami parametrov a vektora

Iteračná procedúra odhadov parametrov MSW modelu: 1. S danými štartovacími hodnotami parametrov a vektora vypočítame vyhladené pravdepodobnosti 2. Zo získaných a prechodových pravdepodobností vypočítame 3. Nakoniec vypočítame autoregresné koeficienty a rozptyl. Získame nový odhad parametrov , ktorý použijeme v ďalšej iterácii. Procedúru ukončíme, keď sa jednotlivé odhady líšia od seba už len o požadovanú presnosť, t. j. Celý postup sa dá zovšeobecniť aj pre m-režimový MSW model, kde m 2.

Osnova programu na ôsme cvičenie Diagnostická kontrola modelu LSTAR (resp ESTAR): a) testovanie autokorelácie

Osnova programu na ôsme cvičenie Diagnostická kontrola modelu LSTAR (resp ESTAR): a) testovanie autokorelácie reziduí b) pre rezíduá modelu LSTAR (resp. ESTAR) určiť vhodný rád AR(q) bez abso- lútneho členu; c) vypočítať reziduálny súčet štvorcov SSR 0; d) z pomocnej regresie, ktorá má na ľavej strane rezíduá a na pravej strane vypočítať reziduálny súčet štvorcov SSR 1 a index determinácie R 2 = 1 – SSR 1/SSR 0 ; e) určiť P-hodnotu testovacej štatistiky LM = n R 2. Pre malú P-hodnotu (menšiu ako 0. 01) rezíduá považujeme za korelované daný model nie je vhodný

Osnova programu na ôsme cvičenie - pokračovanie Diagnostická kontrola modelu LSTAR (resp. ESTAR): b)

Osnova programu na ôsme cvičenie - pokračovanie Diagnostická kontrola modelu LSTAR (resp. ESTAR): b) testovanie ostávajúcej nelinearity pre rezíduá cov SSR 0; modelu LSTAR (resp. ESTAR) vypočítať reziduálny súčet štvor- z pomocnej regresie, ktorá má na ľavej strane rezíduá a na pravej strane