1 Oblikovanje matematinih pojmov Uvod 1 1 Opredelitev

1. Oblikovanje matematičnih pojmov Uvod 1. 1 Opredelitev pojma 'pojem' 1. 2 Oblikovanje pojmov Primer: Oblikovanje pojma večkotnik Izkušnje z večkotniki 1. 2. 1 Učenje z razumevanjem 1. 2. 2 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov n Protiprimeri oz. negativni primeri n Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih n Motnje pri oblikovanju pojmov n 1. 3 Teorija v praksi Literatura Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 1

Uvod Učenje matematike je za učence smotrno, n ker je matematika bistveni element komunikacije, n ker je pomembno sredstvo v vsakdanjem življenju, n ker je fascinantna, n ker omogoča imaginacijo, intuitivnost in kreativnost misli, n ker nudi sistematično delo ter n ker s pomočjo matematike razvijamo učenčevo samozaupanje v njegove (matematične) sposobnosti. Učenec si v procesu učenja matematike pridobiva n znanje o matematičnih pojmih in simbolih, n matematične veščine ter n matematične strategije. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 2

1. 1 Opredelitev pojma ‘pojem’ pójem … miselna tvorba, določena z bistvenimi lastnostmi, značilnostmi konkretnega ali abstraktnega predmeta, predmetov…; lepo je relativen pojem; pojem časti, hiše, vojne…// kar se da določiti, spoznati zlasti z umom: svoboda ni predmet, ampak pojem (SSKJ, 1994) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 3

1. 2 Oblikovanje pojmov Pri oblikovanju pojmov sta bistvena dva procesa: n pridobivanje izkušenj in n uvrščanje izkušenj v obstoječe okvire izkušenj. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 4

Raznovrstnost izkušenj Ekonomičnost spomina Abstrahiranje - proces ozaveščanja podobnosti naših izkušenj Posebne lastnosti, ki so določene s posamezno pojavno obliko predmetov in pojmov, ponavadi pozabimo Abstrakcija oziroma pojem Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 5

Primer: Oblikovanje pojma večkotnik Oblikovanje pojma trikotnik Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 6

Oblikovanje pojma večkotnik Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 7

Je to večkotnik? Lik? Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 8

Izkušnje z večkotniki n Razvrščanje večkotnikov n Poimenovanje večkotnikov n Izdelovanje večkotnikov (rezanje, oblikovanje štirikotnikov na geoplošči, programsko okolje LOGO…) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 9

to paralel : velikost 1 : velikost 2 : kot repeat 2[fd : velikost 1 rt : kot fd: velikost 2 rt 180: kot] end Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 10

n Simetrija pri večkotnikih n Obseg večkotnika n Ploščina večkotnika Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 11

Povzetek Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 12

1. 2. 1 Učenje z razumevanjem Razumeti ‘razumeti’ prav gotovo ni enostavno. Davis (1992) na primer opisuje, da o razumevanju govorimo takrat, ko novo idejo lahko pospravimo v večji okvir starih idej. To je najbolj izrazito takrat, ko je na novo pridobljena informacija odgovor na določeno vprašanje oziroma, ko smo iskali prav to informacijo. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 13

Metafora sestavljanke Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 14

Pri obravnavi matematičnih pojmov v glavnem lahko izbiramo med dvema alternativnima pristopoma: n behaviorističnim in n kognitivnim (Orton, 1992). Kognitivni pristop upošteva učenčevo predznanje ter učenčevo zrelost oziroma pripravljenost za učenje določenega pojma. Kognitivni pristop temelji na delu Piageta. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 15

Na podlagi Piagetovega dela je Dienes (1960) oblikoval tri stopnje, ki igrajo pomembno vlogo pri oblikovanju matematičnih pojmov: n stopnja igre, n stopnja strukture in n stopnja vaje. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 16

Tri stopnje pri učenju matematičnih pojmov je opredelil tudi Bruner (1966). Bruner razlikuje med n enaktivno, n ikonično in n simbolično stopnjo. Stopnje po Brunerju lahko pri usvajanju matematičnih pojmov apliciramo hierarhično, ali kot tri različne pristope pri usvajanju matematičnih pojmov. Primernost posameznega pristopa je določena s starostjo učenca in naravo matematičnega pojma. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 17

Učenje matematike z razumevanjem je raziskoval tudi Ausubel (1968), ki je postavil neko splošno teorijo o učenju z razumevanjem. Učenje z razumevanjem je opredelil kot proces pridobivanja znanja, ki temelji na vzpostavljanju povezav z obstoječo posameznikovo strukturo znanja. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 18

Povzetek: Bruner se je zavzemal za to, da bi morali učenci pri pouku samostojno odkrivati, Ausubel pa je dal prednost sistematičnemu učenju, ki rezultira v bolj sistematičnem znanju. Če pogledamo naš šolski prostor, potem imamo občutek, da se sicer vedno bolj nagibamo k Brunerjevi teoriji, vendar pa po drugi strani gojimo večje zaupanje v Ausubelove ideje. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 19

Lahko sklenemo, da pri učenju o pojmih obstajata dve poti (Marentič Požarnik, 2000): n samostojno oblikovanje (odkrivanje) pojmov in n pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih, predvsem na osnovi besednih razlag. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 20

Pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih poteka v glavnem na dva načina: kot poučevanje s primeri in kot poučevanje pojmov prek definicij oziroma po deduktivni poti. Samostojno oblikovanje pojmov zagovarja konstruktivizem. n ‘Kognitivna ovira’ (spreminjanje napačno oblikovanih pojmov); razumevanje pojma ‘je enako’ n Druge ovire? (inovativni algoritmi; kam vodijo? ) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 21

n Učna metoda mora zagotoviti interakcijo med konkretno aktivnostjo in miselno aktivnostjo. Optimalno ravnovesje med obema pa je določeno s starostjo učencev, z njihovimi sposobnostmi, naravo matematičnega pojma in dostopnostjo ustreznih materialov. n Radikalni konstruktivizem Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 22

n Sociokonstruktivizem moramo razumeti kot proces individualnih konstrukcij v socialnem okolju. Matematiko bi lahko opredelili kot sociološko znanost v smislu, da so vsi pomeni matematičnih idej dogovorjeni oziroma v družbi na določen način prepoznavni. n Lahko bi celo govorili o matematiziranju namesto o matematiki. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 23

Poskusi konstruktivizma: Didaktični realizem na Nizozemskem: n Ker so konstrukti vezani na kontekst, morajo biti kontekstualni tudi matematične naloge in matematični jezik. n Med konstrukti posameznikov morajo obstajati določene konfrontacije (konflikti, presenečenja in šale). n Konstrukti morajo imeti določen pomen in jih je mogoče vgraditi v obstoječo miselno strukturo. van den Brink (1984, 1985, 1991) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 24

Strategije računanja 37+24 na ‘prazni številski osi’ (Selter, 1998, str. 7) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 25

1. 2. 1 Ključni dejavniki pri oblikovanju pojmov n Protiprimeri oz. negativni primeri Pravokotna oblika kot protiprimer kvadratne oblike Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 26

n Poimenovanje pojmov in komunikacija o pojmih Besede označujejo pojme. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 27

Primarni pojmi (npr. trikotnik) Sekundarni pojmi (npr. lik) Če je pojem A primer pojma B, potem je pojem B sekundarni pojem. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 28

n Motnje pri oblikovanju pojmov … so podatki, ki so za pojem nepomembni Računanje do 20 (Vzeto iz Hafner, Mulec, Uran, 1998, str. 118 in 119) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 29

Pojmi in relacije med njimi ter matematična dejstva (izrazi, simboli, formule) oblikujejo shemo (miselno strukturo). Naravna števila Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 30

Zakaj v shemi ni odštevanja in deljenja? Realna števila Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 31

Prilagodljivost strukture (Piaget) Stopnje kognitivnega razvoja (nivoji otrokovega mišljenja) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 32

1. 3 Teorija v praksi Pojmi v matematiki so abstraktne ideje, ki pa za otroka zaživijo s pomočjo reprezentacij. Pri reprezentacijah oziroma pri oblikovanju matematičnih pojmov pri metodiki matematike sledimo načelu od konkretnega do abstraktnega. Poznamo: n reprezentacije s konkretnim materialom n grafične reprezentacije n reprezentacije z matematičnimi simboli. (4) Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 33

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 34

Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 35

Literatura Bruner, J. S. (1966) Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Harvard University Press. Davis, R. B. (1992) Understanding “Understanding”. Journal of Mathematical Behavior 11(3), 225241. Dienes, Z. (1960) Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational. Hodnik Čadež, T. (2001) Vloga različnih reprezentacij računskih algoritmov na razredni stopnji (doktorska disertacija). Filozofska fakulteta. Lerman, S. (1989) Constructivism, Mathematics and Mathematics Educational Studies in Mathematics 20(2), 211 -223. Marentič Požarnik, B. (2000) Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Orton, A. (1992) Learning Matehmatics (Issues, Theory and Classroom Practice). London: Cassell Education. Selter, C. (1998) Building on Children’s Mathematics - A Teaching Experiment in Grade Three. Educational Studies in Mathematics 36(1), 1 -27. Van den Brink, F. J. (1984) Numbers in Contextual Frameworks. Educational Studies in Mathematics 15, 239 -257. Van den Brink, F. J. (1985) Staging Arithmetic: a Suggestion for the Start of Mathematics Instruction. For the Learning of Mathematics 5(2), 35 -37. van den Brink, F. J. (1991) Didactic Constructivism. V: von Glasersfeld, E. (ur. ) Radical Constructivism in Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer. Tatjana Hodnik Čadež: Oblikovanje matematičnih pojmov 36