1 Nmeros reales 1 Nmeros racionales e irracionales

1 Números reales 1. Números racionales e irracionales 2. Los números reales. La recta real 3. Potencias de exponentero. Propiedades 4. Matemática financiera 5. Potencias de exponente fraccionario. Radicales 6. Logaritmo de un número Índice del libro

1 Números reales 1. Números racionales e irracionales Los números racionales son aquellos que pueden representarse mediante una fracción de números enteros, siempre que el denominador sea distinto de cero. Esto escrito en notación matemática queda como sigue: Todo número racional se puede expresar como un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico y viceversa. De fracción a decimal Se divide el numerador entre el denominador. De decimal a fracción Se sigue el procedimiento de cálculo de la fracción generatriz.

1 Números reales 1. Números racionales e irracionales Decimos que un número es irracional cuando no puede representarse como una fracción de números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por. Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Si calculamos la medida de la diagonal del cuadrado con ayuda del teorema de Pitágoras nos queda un número irracional: En realidad, cualquier raíz de cualquier orden que no sea un número exacto, es irracional.

1 Números reales 1. Números racionales e irracionales Aproximar un número es sustituirlo por otro tan cercano a él como sea necesario. Para aproximar un número lo podemos hacer de dos formas: • Truncamiento: Se corta el número en la cifra que se desea aproximar. • Redondeo: Se corta el número en la cifra que se desea aproximar. – Si la siguiente cifra es un número entre 0 -4 → Se deja la última cifra como está. – Si la siguiente cifra es un número entre 5 -9 → Se aumenta la última cifra en una unidad.

1 Números reales 1. Números racionales e irracionales El valor absoluto de un número es su valor numérico sin signo. Se representa por : El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real (V_r) y el valor aproximado (V_a). Se representa por Ea. El error relativo de una aproximación es el cociente entre el error absoluto y el valor real del número aproximado. Se representa por Er. Este cociente nos da el porcentaje de error en tanto por uno.

1 Números reales 2. Los números reales. La recta real El conjunto formado por la unión de los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por la letra. Los números reales se pueden disponer en una recta llamada Recta Real de forma biunívoca. Es decir, a cada punto le corresponde un único número real y a cada número real le corresponde un único punto. Una vez colocados el 0 y el 1, los demás números enteros se colocan en la recta real ordenados y separados una unidad.

1 Números reales 2. Los números reales. La recta real Un intervalo de la recta real es un subconjunto de números reales comprendidos entre dos de ellos llamados extremos del intervalo. Supongamos que , entonces:

1 Números reales 2. Los números reales. La recta real Una semirrecta es el subconjunto de todos los números reales mayores o menores que uno dado. Supongamos que , entonces:

1 Números reales 3. Potencias de exponentero. Propiedades Si y , entonces an es el producto de a n veces. Base: a Exponente: n Propiedades de las potencias Si m, n ∈ y a, b ∈ se cumple: Potencia de exponente negativo y en particular

1 Números reales 3. Potencias de exponentero. Propiedades Se dice que un número está escrito en notación científica si está en la forma a⋅10 p , donde a ∈ [1, 10) y p ∈. A p se le llama orden del número. Operaciones en notación científica Suma – Resta Para poder sumar dos o más números expresados en notación científica tienen que tener el mismo orden. Si no lo tuviesen, los tendríamos que ajustar para equipararlos. El resultado hay que darlo en notación científica. Multiplicación – División Para multiplicar o dividir dos números en notación científica agruparemos por un lado los números y por otro las potencias de 10. Expresaremos el resultado en notación científica.

1 Números reales 4. Matemática financiera Porcentaje Un porcentaje representa una cantidad dada como una fracción cuyo denominador es 100. Para calcularla: El índice de variación estudia el aumento o disminución porcentual de una determinada cantidad. Si una cantidad aumenta o disminuye un r% entonces: Además para calcular la cantidad inicial (CI) o la cantidad final (CF) se tiene que:

1 Números reales 4. Matemática financiera Interés El interés simple es el beneficio que se obtiene al final de la inversión cuando en cada periodo de tiempo los intereses obtenidos no se suman al capital inicial para generar nuevos intereses. Si llamamos r al rédito (% anual que nos ofrece la entidad financiera como beneficio) y t al tiempo en años que dura la inversión:

1 Números reales 4. Matemática financiera El interés compuesto es el beneficio que se obtiene al final de la inversión cuando en cada periodo los intereses obtenidos se suman al capital para generar nuevos intereses. Primer año: Segundo año: Tercer año: En general, en t años:

1 Números reales 5. Potencias de exponente fraccionario. Radicales Sea a ∈ y n ∈ , n 2 , se dice que b es una raíz n-ésima de a, y escribimos cuando se verifica que bn = a. Es decir: Siempre se cumple que si: n par n impar tiene una raíz del mismo signo que a.

1 Números reales 5. Potencias de exponente fraccionario. Radicales Potencias de exponente fraccionario Podemos afirmar que para a > 0, , Propiedades Propiedad 1: Propiedad 2: Propiedad 3: Propiedad 4: Propiedad 5: para a > 0, y en general

1 Números reales 5. Potencias de exponente fraccionario. Radicales Para poder sumar o restar dos radicales tienen que ser semejantes. En ese caso se suman o restan sus coeficientes. En caso contrario la operación se dejará indicada. La racionalización de fracciones consiste en pasar de una fracción a otra equivalente quitando los radicales del denominador. A) B) C)

1 Números reales 6. Logaritmo de un número Sea a ∈ , a > 0 y a≠ 1 y sea b ∈ , b > 0 se llama logaritmo de b en base a, al exponente al que hay que elevar a para obtener el número b. loga b = m⇔ am = b Propiedades Para todas estas propiedades se tiene que cumplir que la base a > 0 y a ≠ 1. También, todos los argumentos tienen que ser estrictamente positivos.

1 Números reales 6. Logaritmo de un número Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10. Las primeras tablas de logaritmos se hicieron en esta base. Así, cuando vemos escrito loga sabemos que nos referimos a log 10 a. El logaritmo neperiano o logaritmo natural utilizan como base el número e. Igual que el logaritmo decimal, se representa de una forma particular lna y equivale a loge a. Con ayuda de cualquiera de estos dos logaritmos y de la propiedad del cambio de base podemos hallar con la calculadora cualquier logaritmo. En la calculadora: logaritmo decimal logaritmo neperiano