1 Materi 1 Macammacam sistem koordinat Sistem loordinat

1

� Materi 1 Macam-macam sistem koordinat - Sistem loordinat Kartesian - Sitem koordinat silinder - Sistem koordinat Bola � Materi 2 Transformasi koordinat - Contoh soal 2

� Pertemuan ini membahas tentang penggunaan sistem koordinat Kartesian, sistem koordinat silinder, sistem koordinat bola, transformasi koordinat dan contoh-contoh soal-soal. � Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat dalam bidang listrik dan gelombang, mekanika teknik, mekanika zat alir dan lain-lain. Setelah menyelesaikan dengan baik marei. 3

1. Macam-macam sistim koordinat 1. 1 Sistim koordinat Kartesian Z z • P(x, y, z) Titik P koordinat Y nya x , y dan z X Elemen volum di titik P : d. V = dx dy dz Z dz dx dy P Y X Elemen panjang , d. L 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 4

1. 2 Sistim koordinat Silinder Z z • P (r , φ , z) x = r cos φ Y y = r sin φ φ X Z r dφ dz . P dr φ X z=z r r dφ Elemen volum diferen sial : d. V = r dr dφ dz Y Elemen garis diferensial d. L adalah diagonal melalui P : d. L 2 = dr 2 + (r dφ)2 + dz 2 5

. . • Vektor satuan ar , aφ dan az = k Z az aφ r z . ar y φ X … ar ┴ a φ ┴ a Z • Hubungan koordinat Kartesian dengan koordinat silinder : x = r cos φ y = r sin φ z=z r = √( x 2 + y 2) ; r ≥ 0 φ = atan (y/x) z=z 6 . .

1. 3. Sistim koordinat bola ar. . … aφ θ P • Θ’ r Koordinat titik M aθ adalah r , φ dan θ’ • . . M (r, φ, θ’) φ Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus , . . ar ┴ a φ ┴ a θ x = r sin θ cos φ ; r = √( x 2 + y 2 + z 2 ); r ≥ 0 y = r sin θ sin φ ; θ = cos-1 (z/(√( x 2 + y 2 + z 2)) z = r cos θ ; ( 00 ≤ θ ≤ 1800 ) … φ = tan-1 (y/x) 7

Elemen garis diferensial , d. L Z dr r sin θ dφ θP dθ Y φ X r dθ d. L 2 = dr 2 + (r dθ)2 + (r sin θ dφ)2 Elemen volum diferensial , d. V = r 2 sin θ dr dθ dφ 8

2. Transformasi koordinat … 2. 1 Transformasi S. K. Kartesian ke S. K. Silin-. . der … … Dengan mempergunakan tabel di bawah. . ini , hasil dari perkalian titik antara dua. . vektor satuan. i j k ar cos φ sin φ 0 aφ - sin φ cos φ 0 a. Z 0 0 1 Vektor A dalam koordinat Kartesian A = AX i + AY j + AZ k 9

Vektor A dalam koordinat silindris A = A r ar + A φ aφ + A z az Cara mencari komponen vektor silindris adalah dengan melakukan “dot product “ antara vektor dalam koordinat Kartesian dengan salah satu vektor satuan dalam koordinat silindris. Sebagai contoh mencari komponen A r : Ar = (Ar ar + Aφ aφ + AZ a. Z ) ● ar Ar = (AX i + AY j + AZ k ) ● ar = A X i ● ar + A Y j ● ar + A Z k ● ar Menurut tabel : I ● ar = cos φ j ● ar = sin φ dan k ● ar = 1 10

sehingga komponen silindris Ar memberikan Ar = AX cos φ + AY sin φ Cara yang sama dihasilkan Aφ dan AZ Aφ = - AX sin φ + AY cos φ AZ = A Z Contoh : Transformasikan ke koordinat tabung vektor B = yi – xj + zk Jawaban : Br = B • a r Br = (yi – xj + zk) • ar = y cos φ - x sin φ = 0 Bφ = (y i – x j + z k) • aφ = (y i – x j) • aφ = - r → B = - raφ + z k 11

2. 2 Transformasi S, K. Kartesian ke S. K. Bola … …. . Tabel “ dot product” vektor satuan dalam S. K. Karrtesian dengan vektor satuan … … dalam S. K. Bola ar . . aφ aθ i sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φ j k sin θ sin φ cos θ sin φ - sin θ cos φ 0 Contoh : Nyatakan medan vektor W = (x - y) a. Y dalam koordinat bola 12

Jawaban : W = (x - y) ay W = W r ar + W φ aφ + W θ aθ Wr = (x - y) a. Y ● ar = (x - y) sin θ sin φ Wφ = (x - y) a. Y ● aφ = (x - y) cos θ sin φ Wθ = (x - y) a. Y ● aθ = (x - y) cos φ x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) → 13

. W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar + cos θ aφ ) + cos φ aθ ] 14

Rangkuman : 1. Sistem koordinat Kartesiaan. - Elemen garis diferensial , ∆L : . d. L 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. - Elemen diferensial volum , d. V : . d. V = dx dy dz 2. Sistem koordinat silinder (tabung) Z x = r cos φ • P (r, φ, Z ) Y θ X r y = r sin φ z=z 15

. . . . - Elemen garis diferensial , ∆L ∆L 2 = dr 2 + (rdφ)2 + z 2 - Elemen diferensial volum , d. V = r dr dφ dz Transformasi koordinat silinder : i j k ar cos φ sin φ 0 aφ - sin φ cos φ 0 a. Z 0 0 1 16

3. Sistem koordinat bola Z • P(r, φ, θ) φ r θ X = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Y X - Elemen garis diferensial , d. L 2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2 - Elemen volum diferensial , d. V = r 2 sin θ dr dθ dφ 17

4. Transformasi koordinat bola : ar aφ aθ i sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φ j k sin θ sin φ cos θ sin φ - sin θ cos φ 0 18

Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini , mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan analisa vektor , khususnya yang terkait dengan bidang sistem komputer. 19