1 MAPA DE NAVEGACIN Ejercicios resueltos Reglas de

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MAPA DE NAVEGACIÓN Ejercicios resueltos Reglas de los Signos Índice Objetivo General Problemas propuestos Soluciones Objetivos específicos: Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Ejemplos 2

Objetivo General Objetivos Específicos Ejercicios Resueltos Objetivo 1 y 2 Objetivo 3 y 4 0 bjetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Problemas Propuestos Soluciones a los problemas propuestos 3

Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las reglas de los signos. Índice 4

1. Recordarás las reglas de los signos para la suma 2. Recordarás las reglas de los signos para la diferencia 3. Recordarás las reglas de los signos para la multiplicación 4. Recordarás las reglas de los signos para la división. Índice 5

5. - Recordarás el orden en que deben realizarse las operaciones aritméticas y algebraicas, incluyendo el uso de símbolos de agrupación. 6. Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la resolución de ejercicios algebraicos. Ver índice objetivo 7. Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la resolución de problemas de casos reales. Ver índice objetivo Índice 6

1. ) Al sumar (3) + (2) ambos tienen signo positivo, por esto el resultado: es 5 positivo, aunque el signo + no se escriba. 2. ) Al sumar (– 16) + (13), el resultado es – 3, puesto que al restar 13 de 16 se obtiene 3, y el número mayor tiene signo negativo. Objetivos específicos 7

a) Si se tienen números de igual signo: Para sumar dos o más números de igual signo, lo que se tiene que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo. b) Si se tienen números de signos diferentes: Para sumar dos números de diferentes signos, se resta el número menor del número mayor y el resultado lleva el signo del número mayor. Ejemplos 8

a) Si se tienen números de igual signo: Para obtener la diferencia de dos números positivos, lo que se tiene que hacer es restar las cantidades y al resultado anteponerle un signo positivo si se resta un número menor de otro mayor que él, y un signo negativo en caso contrario. 9

Para obtener la diferencia de dos números negativos, lo que se tiene que hacer es restar las cantidades y al resultado anteponerle un signo negativo si se resta un número menor de otro mayor que él, y un signo positivo en caso contrario. 10

b) Si se tienen números de signos diferentes: Para obtener la diferencia de dos números de diferentes signos, se debe sumar al primero (el minuendo) el opuesto del número que se resta (el sustraendo). El opuesto de un número es ese mismo número, con el signo contrario. Ejemplos 11

1. ) Al restar (8) – (2) ambos tienen signo positivo y el resultado es 6 porque 2 es menor que 8. 2. ) Al restar (2) – (8) ambos tienen signo positivo y el resultado es – 6 porque 8 es menor que 2. 12

3. ) Al restar (– 8) – (– 2) ambos tienen signo negativo y el resultado es – 6 porque 2 es menor que 8. 4. ) Al restar (– 2) – (– 8) ambos tienen signo positivo y el resultado es + 6 porque 8 es menor que 2. 13

5. ) Para restar (– 8) – (2) se suma a (– 8) el opuesto de (2), es decir: (– 8) – (2) = (– 8) + (– 2) = – 10. 6. ) Para restar (8) – (– 2) se suma a (8) el opuesto de (– 2), es decir: (8) – (– 2) = (8) + (2) = 10. Índice 14

Leyes de los signos para la multiplicación o producto: El producto de elementos con signos iguales es un elemento positivo. El producto de elementos con signos diferentes es un elemento negativo. Ejemplos 15

1. El resultado es positivo porque los dos factores son del mismo signo. (– a) (– b) = ab 2. El resultado es negativo porque los dos factores son de signos diferentes. ( a ) ( – b) = – ab 16

3. ) El resultado es negativo porque los signos diferentes. dos factores son de ( – x ) ( y) = – xy 4. ) El resultado es positivo porque los mismo signo. dos factores son del ( x ) ( y) = xy Objetivos específicos 17

El cociente de elementos con signos iguales es un elemento positivo. El cociente de elementos de signos diferentes es un elemento negativo. Ejemplos 18

1. ) El resultado es positivo puesto que los dos elementos del cociente son del mismo signo. a÷b= –a÷–b= 2. ) El resultado es negativo puesto que los dos elementos del cociente son de signos diferentes. –a÷b= a÷–b= Objetivos específicos 19

Se aplica el siguiente orden: 1. - Primero se evalúan las expresiones dentro de los símbolos de agrupación, incluyendo paréntesis: ( ), corchetes: [ ], o llaves: { }. 20

Si la expresión contiene paréntesis anidados (un par de paréntesis dentro de otro par), primero se evalúa la expresión que está dentro de los paréntesis internos. 2. - Después se evalúan todos los términos que tengan exponentes y raíces. 21

3. - Luego, se evalúan todas las multiplicaciones o divisiones en el orden en que se presentan, trabajando de izquierda a derecha. 4. - Por último, se evalúan todas las sumas y restas en el orden en que se presentan, trabajando de izquierda a derecha. 22

Es importante tener presente que una barra de fracción actúa como un símbolo de agrupación. Así, cuando se evalúan expresiones con una barra de fracción, se trabaja por separado arriba y abajo de la barra de fracción. 23

También es importante recordar que un signo menos precediendo a un símbolo de agrupación significa que los elementos agrupados al interior de los paréntesis, corchetes o llaves, deben multiplicarse por – 1 o, lo que es lo mismo, cambiarles el signo al eliminar el símbolo de agrupación. Ejemplos 24

1. ) Para simplificar la expresión: 3 a + {– 5 x – [– a + (9 x – a – x)]} Primero se empieza por suprimir el paréntesis, por ser el más interno: = 3 a + {– 5 x – [– a + 9 x – a – x]} Suprimiendo luego el corchete queda: = 3 a + {– 5 x + a – 9 x + a + x} 25

Cuando se suprimen las llaves se tiene: = 3 a – 5 x + a – 9 x + a + x Y, simplificando, queda: = 5 a – 13 x 26

2. ) Para simplificar la expresión: {2 a + [a – (a+1)]} ÷ {3 a + [a – (2 a +3) +2]} Como la división indicada se representa por una barra de fracción, al reescribir la expresión queda: 27

Ahora, se eliminan los paréntesis arriba y abajo de la barra: Luego se eliminan ambos corchetes: Y, finalmente, ambas llaves: Al reducir el numerador y el denominador se obtiene la expresión simplificada: 28

En muchas ocasiones, especialmente cuando existen numerosos signos de agrupación, es conveniente ir reduciendo las expresiones que se obtienen en cada paso para no terminar con expresiones demasiado largas, en las que es más fácil equivocarse al reducirlas. 29

Simplificar la expresión: Eliminando los paréntesis al interior del corchete queda: = 5{– (a + b) – 3[– 2 a + 3 b – a – b – 2 a + 2 b] – a} 30

Se reduce la expresión quedó dentro del corchete: = 5{– (a + b) – 3[– 6 a + 3 b] – a} Ahora se eliminan el corchete y el otro paréntesis: = 5{– a – b + 18 a – 9 b –a} 31

Y se vuelve a reducir: = 5{16 a – 10 b} Finalmente, se elimina la llave y se obtiene: = 80 a – 50 b Objetivos específicos 32

Objetivo 1 y 2. Recordarás las reglas de los la suma y la diferencia. signos para Obtén el resultado 1. ) 2. ) 6+8+7+1 = 22 – 6 x – (– 10 x) = – 6 x + 10 x = 4 x 33

Objetivo 3 y 4. Recordarás las reglas de los signos para la multiplicación y la división. Evalúa: 1. ) (24 a) · ( – 3 b) = – 72 ab 2. ) 72 ÷ (– 8) =– 9 35

Objetivo 5. Recordarás el orden en que deben realizarse las operaciones aritméticas y algebraicas, incluyendo el uso de símbolos de agrupación. Simplifica las siguientes expresiones: 1. ) x – [3 x + 2(– x + 1)] = x – [3 x – 2 x + 2] = x – 3 x + 2 x – 2 = – 2 37

2. ) 38

Objetivo 6 Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la resolución de ejercicios algebraicos. Calcula el valor numérico de las expresiones indicadas: 40

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Evalúa las expresiones indicadas: 43

Objetivos específicos 44

Objetivo 7. Aplicarás las reglas de los signos resolución de problemas de en la casos reales. 1. ) En la Ciudad de México la temperatura máxima de un día cualquiera fue de 30° C y la mínima de 8° C. Encuentra el cambio de temperatura. El cambio de temperatura es la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima. Entonces, como 30 – 8 = 22, el cambio de temperatura fue de + 22º C. 45

2. ) En tu tarjeta de crédito tienes un adeudo de $ 3, 765. 00. Vas a pagar el pago mínimo, que es de $ 755. 00, ¿Cuál es tu adeudo después del pago? Considerando el adeudo como un saldo negativo, y el pago como positivo, tienes – 3, 765. 00 + 755. 00 = – 3, 010. 00, por lo cual tu adeudo después del pago es de $ 3, 010. 00 Índice 46

1) Resta (35) de (– 42) 2) Obtén: (– 8) – (4) 3) Evalúa: (– 4) – (– 12) 47

4) Suma los siguientes números: 2, – 3, 7 5) Resta (– 31) de (– 11) 6) Suma: 3 m, – 2 m, 4 m 48

7) Resta: – 3(a – 2 b + 2 c) de (a – 2 b + 2 c) 8) Resta: – 5(a 2 – 2 ab) del resultado de sumar 7(a 2 – 2 ab) con – 9(a 2 – 2 ab) 49

9) (12 x) · (– 2 y) 10) – 6 ab ÷ (2 ab) 11) 42 ÷ (– 7) 12) (2 z) · ( – 14 z) 13) 14) – 81 ÷ 9 – 6 mn ÷ 8 mn 50

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25) En un poblado de Alaska, amaneció a 4º C bajo cero, al mediodía, la temperatura llegó a los 11º C, y por la noche descendió a 3º C. Encuentra el cambio de temperatura entre el amanecer y el mediodía, el cambio entre el mediodía y la noche, y el cambio entre el amanecer y la noche. 55

26) Al recibir tu estado de cuenta bancario observas que tienes un saldo negativo de $1, 550. 00 pesos, ese día vas a depositar $5, 000. 00 pesos. ¿Cuál será tu saldo bancario después de depositar? 56

27) Considerando negativa la distancia de regreso, en un día cualquiera una persona que sale a caminar recorre de ida primero 10 metros, después regresa 3 metros para recoger el periódico, vuelve a tomar su camino de ida y avanza 6 metros, regresa un metro para alcanzar a su vecino y caminar juntos 15 metros más de ida. Encuentra a cuántos metros está de su casa. 57

28) Vas a la tienda, compras 4 kilogramos de tierra y pagas con un billete de 500 pesos. Cada kilogramo cuesta $22. 50. ¿Cuánto dinero te queda? El dinero que te queda lo repartes para hacer otras 4 compras. Suponiendo que repartirás el dinero equitativamente, ¿cuánto tendrás disponible para cada una? Índice 58

Suma y Resta Multiplicación y División Orden de Operaciones Regla de los Signos Aplicaciones de las Reglas Índice 59

Suma y Resta 1. ) – 77 2. ) – 12 3. ) 8 5. ) 20 6. ) 5 m 7. ) 4(a – 2 b + 2 c) 8. ) 3(a 2 – 2 ab) 4. ) 6 Soluciones 60

Multiplicación y División 9. ) 24 xy 12. ) 28 z 10. ) 23 13. ) 9 11. ) 6 14. ) – 3/4 Soluciones 61

Orden de Operaciones 15. ) 4 x + 6 y + 3 16. ) 3 x – 10 y 17. ) 2 m + 2 n 18. ) 2 a – 9 b – 6 Soluciones 62

Reglas de los Signos Soluciones 63

Aplicación de las Reglas 25. ) Del amanecer al mediodía: + 15º C Del mediodía a la noche: – 8º C Del amanecer a la noche: + 7º C 26. ) $ 3, 450. 00 27. ) 27 metros 28. ) $ 102. 50 Soluciones 64