1 Logaritmas Skaiiaus a logaritmu pagrindu b vadiname

1

Logaritmas ¡ Skaičiaus a logaritmu pagrindu b vadiname skaičių c, kuriuo pakėlę b, gauname a. ¡ Reiškinys logba laikomas turinčiu prasmę, kai a>0, b>0, . 2

Dešimtainis logaritmas ¡ Kai logaritmo pagrindas b=10, tai logaritmą vadiname dešimtainiu. Dešimtainį logaritmą rašome trumpiau: 3

Natūrinis logaritmas ¡ Kai logaritmo pagrindas e( 2, 71. . . ) tai logaritmas vadinamas natūriniu ir žymimas lne. 4

Pagrindinė logaritminė tapatybė ¡ ¡ Su visomis a>0, b>0, reikšmėmis teisinga tokia lygybė: Ši lygybė vadinama pagrindine logaritmine tapatybe. 5

Logaritmų savybės Logaritminiams reiškiniams, kurių b>0, c>0, a>0, , būdingi šie tapatieji pertvarkiai: ¡ 1. ¡ ¡ 2. 6

Sandaugos ir dalmens logaritmas 3. 4. 7

Laipsnio logaritmo savybės ¡ 5. ¡ 6. ¡ 7. 8

Pagrindo keitimo formulė 8. Su bet kuriais skaičiais a>0, b>0, ir x>0 teisinga lygybė: 9

9. 10. 10

Apskaičiuokite: 11

Sprendimai: 12

¡ Arba 13

14

Logaritminė funkcija ¡ ¡ ¡ Funkcija, apibrėžta teigiamųjų skaičių aibėje lygybe kai a>0, , vadinama logaritmine funkcija su pagrindu a. Logaritminė funkcija yra funkcijos y=ax atvirkštinė. Logaritminė funkcija apibrėžta teigiamųjų skaičių aibėje. Jos reikšmių aibė - visų realiųjų skaičių aibė. Kai a>1, funkcija didėja, kai 0<a<1 – mažėja. 15

Grafikai 16

17

Logaritminės lygtys ¡ ¡ ¡ Lygtys, kuriose nežinomasis yra logaritmo pagrindo arba logaritmo reiškinyje, vadinamos logaritminėmis lygtimis. Išsprendus logaritminę lygtį reikia patikrinti, ar gautos nežinomojo reikšmės tikrai yra lygties sprendiniai. Galima prieš sprendžiant nustatyti logaritminės lygties apibrėžimo sritį ir gavus nežinomojo reikšmes iš karto atmesti tas, kurios į šią sritį neįeina. 18

Lygtys, sprendžiamos taikant logaritmo apibrėžimą: 19

Logaritminių lygčių sprendimas, remiantis logaritmo savybėmis ¡ Apibrėžimo sritis: 20

Išspręskite lygtį: 21

Sprendimas: 22

Išspręskite lygtį: 23

Sprendimas: ¡ Apibrėžta, kai 24

Lygtys, sprendžiamos įvedant pagalbinį kintamąjį: Apibrėžimo sritis: x>0 Keitinys 25

Išspręskite lygtį: ¡ lg 2 x 3 -10 lgx+1=0 26

Sprendimas lg 2 x 3 -10 lgx+1=0 9 lg 2 x-10 lgx+1 =0 Apibrėžimo sritis: x>0 Keitinys: lgx =a 9 a 2 -10 a+1 =0 27

28

Lygtys, sprendžiamos suvienodinant pagrindus Apibrėžimo sritis, x>0 29

Logaritminės nelygybės Sprendžiant logaritminę nelygybę galima vadovautis tokiu algoritmu: 1. Suteikiame jai pavidalą f(x)>ab 2. Randame nelygybės apibrėžimo sritį: f(x)>0 3. Palyginame logaritmo pagrindą su 1: • jei a>1, tai sprendžiame nelygybę f(x)>ab; • jei 0<a<1, tai sprendžiame nelygybę f(x)<ab. 4. Atsižvelgiame į nelygybės apibrėžimo sritį ir rašome atsakymą. 30

Pavyzdys: 31

32

Išspręskite nelygybę: ¡ lg(x 2 -6)-1<0 33

Sprendimas: 34

Nelygybių sprendimas, logaritmuojant 35

Išspręskite nelygybę: 36

Sprendimas Kadangi logaritmo pagrindas ženklą keičiame priešingu , tai nelygybės 37

Logaritminė nelygybė su kintamuoju pagrindu: pakeičiama sistemų visuma: 38

Pavyzdys: x>5. Ats. : 3<x<4, 39

Išspręskite nelygybę: 40

Sprendimas: 41

Reikalavimai brandos egzaminams ¡ ¡ Mokyklinis egzaminas ¡ Valstybinis egzaminas ¡ Taikyti logaritminių funkcijų savybes uždavinių sprendimui argumentuoti Apskaičiuoti logaritminių funkcijų reikšmes Suprasti kas yra skaičiaus logaritmas Mokėti pavaizduoti ¡ paprasčiausių logaritminių funkcijų grafikus Naudojantis skaičiuokliu apskaičiuoti skaičiaus dešimtainio logaritmo reikšmes 42

Lygtys ir nelygybės ¡ Spręsti paprasčiausias logaritmines lygtis ¡ ¡ Sudaryti ir spręsti nesudėtingas logaritmines lygtis bei dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas, kurių viena lygtis yra logaritminė Sudaryti ir spręsti nesudėtingas logaritmines nelygybes bei paprastas jų sistemas ( su vienu kintamuoju). 43