1 LGEBRA Aula 4 Classificao das Funes Professor

1 ÁLGEBRA Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ou seja, “x” diferente A B 0 -3 2 4 1 6 8 tem “y” diferente !!!

3 FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ) M -1 1 1 9 3 H Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro !!!

4 FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Injetora: “x” diferente tem “y” diferente M H -1 1 3 5 7 9 Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

5 Testando seus conhecimentos 1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) 4 5 6 7 1 2 3 é injetora 1 2 3 é sobrejetora 4 6

1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: c) d) 1 2 3 é bijetora 4 5 6 1 2 3 6 3 4 5 não é sobrejetora, nem injetora

7 2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f : Existem brasileiros com a a) é injetora e não é sobrejetora. mesma altura, portanto , b) é injetora e é sobrejetora. “ f ” não é injetora! c) não é injetora e é sobrejetora. Sobram elementos no d) não é injetora e não é sobrejetora. conjunto contra domínio, portanto, “ f ” não é sobrejetora! B Eu Thiago Mailson Francisli Claúdia Dennys R 1, 73 -2 1, 75 10 1, 70 -2, 3 1, 61 0 √ 2 π Resp. (d)

3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de 8 ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f é uma função sobrejetora. b) f não pode ser uma função bijetora. c) f não pode ser uma função injetora. Resp. d) f é necessariamente uma função injetora. (a) E IFRN “Empregad”éstica Maris”bela” Flo”foca” Over”dopping” Conte”râneo” 23 10 13 12 14 P

FUNÇÃO INVERSA: 9 A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1º) Isola “x”; 2º) Troca “x” por “y” e vice versa. R O símbolo para a D função inversa de f f(x) é f -1 e lê-se “função inversa de f”. x y f -1(x) O símbolo “– 1” em f -1 não é um expoente; f -1(x) não significa 1 / f(x).

FUNÇÃO INVERSA: 10 TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x 2 tem inversa ? y ou f(x) y=x 2 ou f(x)=x 2 reta horizontal 4 -2 0 2 Conclusão: a função f(x)=x 2 não tem inversa. x

4º) (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3 x – 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é: A) (x + 3) : ( 3 x – 1) B) ( 3 x + 1) : ( 3 – x) Vejamos: C) ( 2 x – 1) : (x + 1) y = ( 3 x – 1) : (x + 3) D) ( 3 x – 1) : (x + 3) y = _3 x – 1_ x + 3 1º) Isolando “x” ; _3 x – 1_ = y x + 3 3 x – 1 = y. (x + 3) 3 x – y. x = 3. y + 1 x = _3. y + 1_ 3 – y 3 x – 1 = y. x + 3. y Colocando x em evidência: x. (3 – y) = 3. y + 1 2º) Troca x por y. y = _3. x + 1_ = ( 3. x + 1) : ( 3 – x) 3 – x 11

FUNÇÃO PAR: 12 f(x) = f(-x) Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. y x exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 FUNÇÃO ÍMPAR: Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. f(x) = x² y f(x) = x³ f(a) = - f(-a) exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³ x

5º) a) Verifique se f(x) = 2 x³ +5 x é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f(1) = 2. 1³ + 5. 1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2. (-1)³ + 5. (-1) = -7 Logo f(x) = 2 x³ +5 x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3 x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3 13

14 6º) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será : Lembre-se: Se f(x) = f(-x) Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”. Resp. : E

15 FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE: f(b) f f(b) g(a) f(a) O g g(b) a b A função f é crescente O f(a) a b A função g é decrescente g g(b) f g(a) a b A função f é crescente a b A função g é decrescente Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

16 7º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: y -2 a) Decrescente b) Crescente 0 2 4 6 ]0, 4[ ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[ x

Função Composta Função composta Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A. B C A x Se x=3 f(x) g(f(x)) Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y 2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)2

Função Composta Mais exemplos: Sejam as funções f(x) = x 2 – 1 e g(x) = 3 x , calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

19 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 – Qual dos gráficos representa uma função injetora? 2 – Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4 x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

20 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento. 4 – Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas: a) Nenhuma b) Todas c) p, q e r d) t e) r e t

21 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2 x - 3) / 5 x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3 6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

22 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 – (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta: A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

23 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17 h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15, 3)h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: A) 2970. B) 2875. C) 2770. D) 2601.

24 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m� , de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85 kgf receberá em cada dose: A) 7 m� B) 9 m� C) 8 m� D) 10 m�

25 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno. X 1 5 20 100 Y 5 25 100 500 De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são: A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

26 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 11 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

27 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 12 – (UFRN) Determine o valor da expressão para a = – 1.

28 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma função inversa “ƒ -1”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)). Dadas as funções ƒ(x) = 5 x + 1 e g(x) = 6 x – 4, resolva a equação ƒ -1(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item: a) Determine ƒ -1(x); b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”, em seguida, iguale a zero e resolva a equação;

29 TESTANDO OS CONHECIMENTOS RELEMBRANDO: Resolva os exercícios do livro: P. 89 _ 4 P. 95 _ 9 P. 99 _ 10 P. 100 _ 11 P. 101 _ 14 e 15 P. 107 _ 17 e 19 P. 112 _ 23 e 25 OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

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