1 Eerstegraadsfuncties 1 Kostprijs van een taxirit bij

1. Eerstegraadsfuncties 1

Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (1) • Vertrekgeld: 5 euro • Kmprijs: 2 euro Kostprijs rit van 7 km? 2

Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (2) • Vertrekgeld: 5 euro • Kmprijs: 2 euro Kostprijs y van een rit van x km? 3

Benamingen • x (lengte rit) en y (prijs rit): VERANDERLIJKEN • y hangt af van x: y is FUNCTIE van x, notatie: y(x) y: AFHANKELIJKE VERANDERLIJKE x: ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE • formule y = 5 + 2 x: VERGELIJKING (VOORSCHRIFT) VAN DE FUNCTIE 4

Vorm van de vergelijking y = 5 + 2 x VAST GEDEELTE + VARIABEL GEDEELTE VAST GEDEELTE + VEELVOUD ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE VAST GEDEELTE + GEDEELTE EVENREDIG MET ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE 5

Kostprijs taxirit taxibedrijven B, C, . . ? • y = 4. 50 + 2. 10 x; y = 5. 20 + 1. 90 x; enz. … • Algemeen: y = vast vertrekgeld + kmprijs x y=q+mx y=mx+q EERSTEGRAADSFUNCTIE! (toepassingen: lineaire functie genoemd) Let op: m en q VAST (per bedrijf): PARAMETERS! x en y: VERANDERLIJKEN! 6

ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan? • Kostprijs y om auto van 20 000 euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0. 8 euro per km bedragen? y = 20 000 + 0. 8 x m. a. w. … y = mx + q • Totale productiekosten TK om q eenheden te produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0. 2 is? TK = 3 + 0. 2 q m. a. w. y = mx + q 7

Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is? Crashen met de taxi aan 100 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v. Voor taxi van 980 kg: E = 490 v² d. i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie! 8

Betekenis van de parameter q in de vergelijking • Taxibedrijf A: y = 2 x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs. • q kan opgevat worden als DE WAARDE VAN y ALS x = 0. Grafische betekenis q 9

Betekenis m in de vergelijking • Taxibedrijf A: y = 2 x + 5, m = 2: de kmprijs. • m is DE VERANDERING VAN y ALS x TOENEEMT MET 1. • Als x toeneemt met b. v. 3 (rit is 3 km langer) zal y toenemen met 2 3 = 6 (we moeten 6 euro meer betalen). • In wiskundige notatie: als x = 3 dan y = 2 3 = m x. • Altijd geldt: y = m x (TOENAMEFORMULE). Gevolg: Grafische betekenis m 10

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (1) Eerste manier: Meest geconcentreerde vorm! Met de VERGELIJKING, b. v. y = 2 x + 5. 11

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (2) Tweede manier: Meest concrete vorm! Met een TABEL, b. v. voor y = 2 x + 5: x 0 1 2 … y 5 7 9 … 12

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (3) Derde manier: Meest visuele vorm! Met de GRAFIEK, b. v. voor y = 2 x + 5: De grafiek is EEN (deel van een) RECHTE! 13

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (1) • Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = 2 x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie? … x? … y? … x en y? de vergelijking? …? • Eén wiskundige opvatting is de volgende: DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5”. • We kunnen een functie daarom beschouwen als een MACHINE. 14

y = 2 x + 5 DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5”. We kunnen een functie daarom beschouwen als een MACHINE. 7 x 19 y = 2 x + 5 15

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (2) • DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5” • Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) stellen we voor door nog een andere letter, b. v. f. • Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) toepassen op x noteren we als f(x). • In dit geval: f(x) = 2 x + 5. • We hadden eerst y = 2 x + 5 en nu dus ook y = f(x). 16

Algemeen • Eerstegraadsfunctie f: “regel” die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m 0 (!!) • De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte. • Betekenis parameter q: q = f(0) • Betekenis parameter m: 17

Grafische betekenis parameter q q in het voorbeeld van taxibedrijf A Algemeen: q geeft aan waar de grafiek de Y-as snijdt: Y-INTERCEPT 18

Grafische betekenis parameter m (1) • m in het voorbeeld van taxibedrijf A • als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe m is de HELLING of de RICHTINGSCOËFFICIËNT 19

Grafische betekenis parameter m (2) teken van m bepaalt – of rechte naar onder/horizontaal/boven loopt – of eerstegraadsfunctie dalend/constant(!!)/stijgend is grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is 20

Grafische betekenis parameter m (3) als x met x eenheden toeneemt, neemt y met m x eenheden toe Toenameformule: 21

Oefeningen • oefening 1 • oefening 2 (alleen aangeduide punten mogen gebruikt worden!) Figuur 2 voor E: evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt! 22

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (1) • Kapitaal van 10 000 euro volledig beleggen in bepaald aandeel en bepaalde obligatie aandeel: 80 euro per stuk obligatie: 250 euro per stuk • Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal? Noem het aantal aandelen en obligaties respectievelijk q. A en q. O. Dan moet gelden: 80 q. A + 250 q. O = 10 000 23

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (2) • Er geldt: 80 q. A + 250 q. O = 10 000 • Er zijn oneindig veel mogelijkheden voor q. A en q. O b. v. : q. A = 0, q. O = 40; q. A = 125, q. O = 0; q. A = 100, q. O = 8; q. A = 112. 5, q. O = 4; enz. … • Niet alle combinaties zijn mogelijk! • Er is een verband, EEN RELATIE, tussen q. A en q. O. 24

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3) • Er geldt: 80 q. A + 250 q. O = 10 000 • We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q. A en q. O duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken: q. A afhankelijke, q. O onafhankelijke veranderlijke, verband is van de vorm y = mx + q dus EERSTEGRAADSFUNCTIE! 25

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4) • Er geldt: 80 q. A + 250 q. O = 10 000 • We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q. A en q. O duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken: Nu is q. O afhankelijke, q. A onafhankelijke veranderlijke, verband is weer van de vorm y = mx + q dus ook EERSTEGRAADSFUNCTIE! 26

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5) Verband, RELATIE, tussen q. A en q. O: • 80 q. A + 250 q. O = 10 000: IMPLICIETE vergelijking beide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0 • q. O = 40 0. 32 q. A: EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q • q. A = 125 3. 125 q. O: EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q 27

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6) DE RELATIE tussen q. A en q. O komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK): 28

Vergelijkingen van rechten (1) • De grafiek van eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE. • Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b 0 bepaalt een eerstegraads- of constante functie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b 0!) • Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5. 29

Vergelijkingen van rechten (2) Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten: 30

Vergelijkingen van rechten (3) • rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: rechte door punt (x 0, y 0) met rico m heeft vergelijking • evenwijdige rechten: gelijke rico’s • onderling loodrechten: product van de rico’s is – 1 oefeningen 3 en 4 31

Oefeningen • oefening 7 werkwijze: – snijpunt f en g zoeken via f(x) = g(x) – controleren of dit punt op de grafiek van h ligt • oefening 8 (a) werkwijze: – y oplossen uit eerste vergelijking (*) en invullen in tweede vergelijking; daaruit dan x oplossen; invullen in (*) • oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d) • oefening 14 32

Oefening 14 (a) 33

Oefening 14 (b) 34

Oefening 2 q=3 6 6 Terug 35