1 CHAPITRE 1 Systmes de numration 2 Reprsentation

1 CHAPITRE 1 Systèmes de numération

2 Représentation des nombres • Nombres cardinaux • Un symbole étalon • Un nombre est l’appariement d’une suite de symbole étalon I → Symbole étalon IIII → Représente le nombre 8

3 Représentation des nombres • Nombres ordinaux • Une valeur de base (0) • On définit les principes de succession • succ(0) est le nombre suivant 0 • et de correspondance • À chaque valeur est associée un symbole (: =) 0, succ(0) : = 1, succ(0)) : = 2, succ(succ(0))) : = 3, etc. • Un nombre ordinal indique un rang dans un ensemble ordonné

4 Représentation des nombres • Système de numération (η) • Un couple composé • D’un ensemble de symbole (S) • D’un ensemble de règles (R) S = (I, V, X, L, C, D, M) R = ensemble des règles d’écriture des chiffres romains IV = 4, LXVI = 66 La valeur d’un symbole ne dépend pas de sa position

5 Représentation des nombres • Système de numération positionnel • Ajout d’une base (B) au système de numération précédent • Le nombre d’élément dans l’ensemble des symboles est B • La valeur maximale d’un symbole est B-1 • Un symbole « a » à la ième position vaut a * Bi Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de 10

6 Représentation des nombres •

7 Représentation des nombres •

8 Représentation des nombres •

9 Représentation des nombres • Le système décimal est le plus utilisé par les humains • Les ordinateurs fonctionnent à l’électricité • Le courant passe (1) • Le courant ne passe pas (0) • Et utilisent le binaire (base 2) pour simplifier les calculs • On utilise aussi les bases 8 (octal) et 16 (hexadécimal) • Pour simplifier la notation des nombres binaires

10 Représentation des nombres Décimal Binaire Octal Hexadécimal 0 0 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14

11 Représentation des nombres • Il est utile de connaître le plus grand entier positif qu’un système de numération positionnel peut représenter. • La valeur maximale exprimée dans une base « B » à l’aide de « n » symboles est : Max(B, n) = Bn - 1

12 CONVERSION DE NOMBRES

13 Conversion de nombres •

14 Conversion de nombres •

15 Conversion de nombres •

16 Conversion de nombres •

17 Conversion de nombres • a

18 Conversion de nombres •

19 Conversion de nombres • a

20 Conversion de nombres •

21 Conversion de nombres •

22 Conversion de nombres •

23 Conversion de nombres •

24 Conversion de nombres ØXB 1 YB 2 • Une autre méthode, plus longue, est de passer par une base intermédiaire (habituellement, la base 10) • On fait l’expansion du nombre en base B 1 vers la base 10 • On fait les divisions et les multiplications successives vers la base B 2 à partir de la base 10

25 Conversion de nombres ØX B Y B m • On fait des groupes de « m » symboles • On part de la droite pour la partie entière • On part de la gauche pour la partie fractionnaire • On complète les groupes qui ont moins de « m » symboles par des zéros • On remplace les groupes par la valeur dans la base Bm • On appelle cette technique le groupement.

26 Conversion de nombres •

27 Conversion de nombres ØX B m Y B ØOn remplace chaque symbole de la base Bm par la suite de symboles équivalents dans la base B. ØOn appelle cette technique l’éclatement.

28 Conversion de nombres •

29 Conversion de nombres ØX B m Y B n ØChaque symbole de la base Bm est éclaté en « m » symboles de la base B. ØChaque symbole de la base B est ensuite regroupé en groupes de « n » symboles et transformés en symbole de la base Bn

30 Conversion de nombres •

31 Nomenclature de nombres Les préfixes du système décimal + Puissance de 10 - Deca 1 Deci Hecto 2 Centi Kilo 3 Milli Mega 6 Micro Giga 9 Nano Tera 12 Pico Peta 15 Femto Exa 18 Atto Zetta 21 Zepto Yotta 24 Yocto

32 Nomenclature de nombres Les préfixes des octets (groupe de 8 bits) en informatique Puissance de 2 Kilo 10 Mega 20 Giga 30 Tera 40 Peta 50 Exa 60