1 Bevezets a matematikba I Elad Farkas Gbor

1 Bevezetés a matematikába I Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg. inf. elte. hu A tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok e-mail: farkasg@compalg. inf. elte. hu Budapest 2010. ősz

2 Ajánlott irodalom Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN 978 963 284 077 2

3 1. 1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet) igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) elemi formula logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) logikai jelek (műveletek) ¬, , (precedencia) kvantorok: , Hogyan definiálhatnánk a formulákat?

4 Igazságtáblázat A i i h B i h i A B i h h h A i i h B i h i A B i h h i A i h A h i A i i h B i h i A B i i i h h h A i i h B i h i A B i h h i

Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) 5 Ha A, B formula, akkor ¬A, (A B), továbbá ( x. A) és ( x. A) formulák. Formulán belül: kvantor hatásköre kötött és szabad előfordulás szabad változó ( szabad előfordulása) zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)

kielégíthető formula: tétel (tautológia) : 1. A ¬A alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket mindig igaz értéket adó formulák (kizárt harmadik) 2. ¬(A ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A) A (kettős tagadás) 4. ¬(A B) ¬A ¬B (De Morgan) 5. ¬(A B) ¬A ¬B (De Morgan) 6. A B ¬A 7. A (A B) B (kontrapozíció) (modus ponens) 6

8. ¬ x P(x) x ¬P(x) 10. x y P(x, y) y x P(x, y) 9. ¬ x P(x) x ¬P(x) 11. x y P(x, y) y x P(x, y) bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás axiómák ellenpélda ellentmondásmentesség teljesség ( tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) szükséges, elégséges feltétel teljes indukció 7

8 Példa x illeszkedik z -re x pont z egyenes

Példa 9 N(x) : x nő definíció új predikátum axióma predikátum tételek (*) G(x, y) : x gyereke y -nak unoka

Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája. tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh x. U(x, x) z(G(x, z) G(z, x)) (*) 10

11 1. 2 Halmazelméleti alapfogalmak A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme”. A: = { felsorolás} A: = { x B | F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet A: = { x B : F(x) }

A B x (x A x B) 12 A B x (x A x B) y (y A y B) Jelölés! részhalmaz , valódi részhalmaz (vagy részhalmaz , valódi részhalmaz )

Miért van szükség a részhalmaz axiómára? 13 Russel-paradoxon Legyen A tetszőleges halmaz és B A Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel:

Def. (Unióképzés) Def. (Metszetképzés) 14

15

1. 2. 22. Különbség A B = { x A | x B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x A B x B A }= ={ x A B | x A B } Ha X halmaz és A X , akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X A 16

1. 2. 25. 17

Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük. 1. 2. 42 18