1 ARITMTICA CAPTULO 15 TEORA DE CONJUNTOS II

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ARITMÉTICA. CAPÍTULO 15 TEORÍA DE CONJUNTOS II. 2 DO. Año SAN JUAN y SAN JOSÉ AÑO ESCOLAR 2020 ALFA DE VENTANILLA. PROFESOR: VICTOR ILLACONZA QUISPE.

PROPÓSITO ü RELACIONAR DOS O MÁS CONJUNTOS EN DIAGRAMAS EN FUNCIÓN A SUS CARDINALES. ü DIFERENCIAR LOS TÉRMINOS PERTENENCIA E INCLUSIÓN DENTRO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.

SABERES PREVIOS Cardinal de un conjunto A: n(A) = número de elementos de “A” U = { 7; 2; 3 ; 5 ; 4 ; 6 1 ; 8 ; 9 } n(U) = 9 A – B = { 7 } n(A – B) = 1 B – A = { 4; 6 } n(B – A) = 2 A B = { 7 ; 4 ; 6 } n(A B) = 3 A U B = { 7; 2; 3 ; 5 ; 4 ; 6 } n(A U B) = 6 A B = { 2; 3 ; 5 } n(A B) = 3 (A U B)´ = { 1; 8 ; 9 } n(A U B)´ = 3

SABERES PREVIOS TODOS LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN SE REPRESENTAN UNO POR UNO; POR EL CONTRARIO, EN UN CONJUNTO POR COMPRENSIÓN DICHOS ELEMENTOS SE PRESENTAN DE FORMA RESUMIDA, MEDIANTE UNA SOLA “FORMA GENERAL”. A = { 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31} A = { LOS NÚMEROS IMPARES MAYORES QUE “ 1” MENORES QUE “ 33” } A = { 2 X + 1 / X N; 0 < X < 16 } “x” toma valores mayores que “cero” y menores que “ 16” “x” pertenece a los naturales. A = { 2 X + 1 / X N; FORMA DE LOS ELEMENTOS 0 < X < 16 } CONDICIONES DE “X”

SABERES PREVIOS El entrenador de futbol del colegio ALFA otorga camisetas a 9 jugadores seleccionados. con numeraciones que van desde 6 hasta 14; y los representa por comprensión en el conjunto “A”. Al día siguiente el entrenador de básquet otorga camisetas a 6 jugadores que selecciona del colegio, con numeraciones desde 4 hasta 9; y los representa por comprensión en el conjunto “B”. A = {2 X + 3 / X N; 5 < x < 15} Y B = {3 X – 2 / X N; 3 < x < 10} Calcular n( A B) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 RESOLUCIÓN. Primero representamos los conjuntos “A” y “B” por extensión, para poder identificar cada uno de sus elementos. 15 17 19 21 23 25 27 29 31 A = { ; ; ; ; ; } Luego representamos los elementos de cada conjunto en un diagramas. A 15 31 17 23 29 21 27 25 19 B 10 13 16 22 10 13 16 19 22 25 B = { ; ; ; ; } Finalmente, hallamos la cantidad de elementos de “A B” : n ( A B ) = 2 RESPUESTA: 2

RECORDAR En el diagrama de Venn se representan los elementos de dos o más conjuntos para relacionarlos en gráficos, por lo tanto estos contienen a los elementos; pero, dichos gráficos también pueden representar los cardinales y completar cada región ya no con los elementos sino con los cardinales. VEAMOS COMO ….

Calcular n( A B) También podemos graficar en función a las cantidades de elementos; es decir sin la necesidad de completar los gráficos con todos los elementos. N(B) n(A) 7 2 4 Piden: n( A B) = 2 RESPUESTA: 2

PASOS PARA RELACIONAR CONJUNTOS 1) IDENTIFICAR LOS CONJUTNOS RELACIONADOS EN UN ENUNCIADO 2) REPRESENTAR LOS CONJUTOS DENTRO DE DIAGRMAS DE VENN. 3) RELLENAR LAS ZONAS DETERMINADAS AL GRAFICAR EL DIAGRAMA DE VENN 3. 1) COMENZAMOS DE PREFERENCIA , POR LA ZONA DE INTERSECCIÓN, COLCOAMOS LOS ELEMENTOS EN ESTA REGIÓN 3. 2) COMPLETAMOS LAS REGIONES RELACIONADAS CON SUS RESPECTIVOS ELEMENTOS. 3. 3) DETERMINAMOS EL OBEJITO DEL PROBLEMA: “RESPUESTA”.

EJERCICIO 1. El profesor de educación física asigna camisetas con un número en la espalda a cada uno de sus 5 alumnos y se percata de que los que tiene camiseta con numeración 9, 4, 5, 2 y 1 quieren jugar de delanteros; los que prefieren jugar de defensa tienen camisetas 1, 2 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9; el profesor desea resumir lo dicho hasta aquí para lo cual utiliza el diagrama de ven. Hallar la cantidad de alumnos que prefieren jugar en solo uno de los dos puestos; es decir, calcular: n(T F) a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 8 RESOLUCIÓN. T = { Conjunto de los delanteros } F = { Conjunto de los defensa } T = { 1 , 2 , 4 , 5 , 9 } F = { 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } n(T) = 5 n(F) = 7 1 4 Piden: n(T F) = Solo “T” + solo “F” = 1 + 3 3 RESPUESTA: 4

EJERCICIO 2. En un salón de clases se observa que el número de alumnos que prefieren el curso de aritmética (A) son 12; y, 18 alumnos prefieren el curso de álgebra (X), además se sabe que el número de alumnos que prefieren ambos cursos son 7. Calcular cuántos alumnos prefieren solo uno de los dos cursos n(A X). a) 72 b) 16 c) 70 d) 71 e) 19 RESOLUCIÓN. Piden: n(A X) = solo a “A” + solo a “X” = 5 + 11 = 16 X(18) A(12) 5 7 11 RESPUESTA: 16

EJERCICIO 3. De 140 alumnas de un centro de idiomas se sabe que: - 62 estudian inglés - 56 estudian francés - 54 estudian alemán - 18 estudian inglés y francés - 20 estudian francés y alemán - 22 estudian inglés y alemán - 6 estudian los 3 idiomas ¿Cuántos alumnos estudian solo un cursos? a) 51 b) 70 c) 23 d) 74 e) 25 RESOLUCIÓN. Conjunto de los que estudian Alemán : A U (140) I (62) F (56) 12 28 24 6 16 Otros cursos 14 18 A (54) La cantidad de alumnas que estudian solo un cursos : Solo inglés + Solo francés + Solo alemán Conjunto de los que estudian Inglés : I Conjunto de los que estudian Francés: F 28 + 24 + 18 = 70 RESPUESTA: 70

EJERCICIO 4. De un grupo de 150 turistas que regresaron a su país de origen se obtuvo la siguiente información: - 18 visitaron sólo Cuzco e Iquitos - 9 visitaron sólo Huaraz y Cuzco - 10 visitaron solo Huaraz e Iquitos. - 21 visitaron sólo Huaraz - 25 visitaron solo Cuzco - 20 visitaron solo Iquitos - 8 visitaron otros lugares. ¿Cuántos visitaron los 3 lugares mencionados? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 39 U(150) N(I) N(C) 18 25 9 8 X 20 10 21 N(H) RESOLUCIÓN. Conjunto de los que visitan Cuzco : C Conjunto de los que visitan Iquitos : I 25 + 9 + 18 + X + 10 + 21 + 8 = 150 X = 39 Conjunto de los que visitan Huaraz : H RESPUESTA: 39

AHORA DIFERENCIEMOS LO TÉRMINOS PERTENENCIA E INCLUSIÓN DENTRO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS.

SEA EL CONJUNTO “A” A = {2; 3; 4}

PROBLEMAS DE CLASE. 1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar verdadero (V) o Falso (F), según corresponda: i) ii) 7 A ( ) 10 A ( ) a) VVFF b) VFFV iii) {10} A ( ) iv) {15} A ( ) c) VVFF d) VFFF e) FFVV RESOLUCIÓN. Elementos que pertenecen ( ) al conjunto “A” : 7; 8; 10; 15 Subconjuntos que están incluidos ( ) en el conjunto “A” : {7} ; {8}; {10}; {15}; {7; 8}; {7; 10}; {7; 15}; {8; 10}; {8; 15}; {10; 15}; {7; 8; 10}; {8; 10; 15} {7; 10; 15}; {7; 8; 10; 15}; { } CLAVE : c

PROBLEMAS DE CLASE. 2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda: i) {7} A ( ) iv) {9} A ( ) ii) 9 A ( ) iii) 7 A ( ) v) A ( ) vi) 10 A ( ) a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF d) VVFFFV e) VVVVFF RESOLUCIÓN. Elementos que pertenecen ( ) al conjunto “A” : 5; {7}; 9; 12 Subconjuntos que están incluidos ( ) en el conjunto “A” : {5}; {{7}}; {9} ; {12} ; {5; {7}} ; {{5; 9}}; {{5; 12}}; {{7}; 9}; {{7}; 12}; {9; 12}; {5; {7}; 9}; {5; 9; 12}; {5; {7}: 12}; {{7}; 9; 12}; {5; {7}; 9; 12}; { } CLAVE : c

PROBLEMAS DE CLASE. 3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b} M ii) b M iii) {{m}} M iv) {{b}, p} M v) {{b}, {m}} M vi) m M a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUCIÓN. Elementos que pertenecen ( ) al conjunto “M” : a; {b}; {m}; p Subconjuntos que están incluidos ( ) en el conjunto “M” : {a}; {{b}}; {{m}} ; {p} ; {a; {b}} ; {a; {m}} ; {a; p}; {{b}; {m}}; {{b}; p}; {{m}; p}; {a; {b}; {m}}; {a; {m}; p}; {a; {b}; p}; {{b}; {m}; p}; {a; {b}; {m}; p}; { } i) F iii) V iv) V v) F vi) F CLAVE : d

PROBLEMAS DE CLASE. 4. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F) según corresponda: i) {5} A ( ) iii) {9} A ( ) ii) {7} A ( ) iv) {5; {2}} A ( ) a) FVVF b) FVFV c) FVVV d) VFFV e) VVFF RESOLUCIÓN. Elementos que pertenecen ( ) al conjunto “A” : 5; {7}; 9; {2} Subconjuntos que están incluidos ( ) en el conjunto “A” : {5}; {{7}}; {9} ; {{2}} ; {5; {7}} ; {{5; {2}}}; {{5; 12}}; {{7}; 9}; {{7}; {2}}; {9; {2}}; {5; {7}; 9}; {5; 9; {2}} {5; {7}: {2}}; {{7}; 9; {2}}; {5; {7}; 9; {2}}; { } CLAVE : c

5. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}; ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? i) iv) {5; 7} A ( ) ii) {5; 7} A ( ) iii) {7} A ( ) { } A ( ) v) 3 A ( ) vi) {8} A ( ) a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1 RESOLUCIÓN. Elementos que pertenecen ( ) al conjunto “A” : {3; 8}; {5; 7}; 8 Subconjuntos que están incluidos ( ) en el conjunto “A” : {{3; 8}}; {{5; 7}}; {8}; {{3; 8}; {5; 7}}; {{3; 8}; {{5; 7}; 8}; {{3; 8}; {5; 7}; 8}; { } i) iii) iv) v) vi) V F F F V V CLAVE : a