1 2 Variables aleatorias 1 Probabilidad de un

1. 2 Variables aleatorias.

1. Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada. 3. Variables aleatorias (discretas y continuas). 4. Distribuciones continuas más importantes.

1. Probabilidad de un suceso. Experimentos aleatorios/determinísticos En un experimento aleatorio: - Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles. - Espacio muestral (E): conjunto formado por los sucesos elementales. - Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E 3 5 1 2 4 6 A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

Ejemplo: Sea el experimento “Lanzar un dado”; entonces, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E 3 5 1 2 A 4 B 6 A=“Obtener un nº menor o igual que 2”; B=“Obtener nº par”

A ∩ B = “A intersección B” = “se dan A y B a la vez”= {2} A U B = “A unión B” =“se da A ó B ó ambos a la vez” = {1, 2, 4, 6} = “no A” = “contrario de A” = “no se da A” = {3, 4, 5, 6} Suceso seguro (hay certeza de que se da): E Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Ø Se dice que A y B son incompatibles si A ∩ B = Ø (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asigna a cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que: 1. - 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. - P(E)=1 3. - Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B) Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace En el ejemplo anterior, ¿P(A)? ¿P(B)? ¿P(A ∩ B)?

Ley de los Grandes Números: “El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidir con su probabilidad teórica a medida que el experimento se repite más y más Veces”. Algunas fórmulas: - P(A U B)=P(A) + P(B) – P(A∩B) - Probab. de la unión de varios sucesos incompatibles: P(A U B U … U C) = P(A) + P(B) + … + P(C) - Probab. del suceso contrario:

2. Probabilidad condicionada. Ejemplo: Se sospecha que existe relación entre la aparición de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposición a determinados desechos químicos en un vertedero próximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relación entre ambos fenómenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la comunidad, de las cuáles 300 habían estado expuestas a los desechos, y 320 no lo habían estado. En ambos grupos, se determinó el número de personas que tenían la citada enfermedad. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

SI NO SI 52 248 300 NO 48 272 320 Totales: 100 520 620 Ha estado expuesto Tiene la enfermedad

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? ¿Y de que tenga la enfermedad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro? c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? d) A partir del resultado anterior, ¿parece razonable concluir que no hay relación entre ambos fenómenos?

Probabilidad condicionada: (Probab. de A condicionado B) (Probab. de B condicionado A) Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B) Se cumple: A y B independientes ↔ P(A ∩ B)=P(A) P(B)

3. Variables aleatorias. Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadas probabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que entre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.

Función de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una fórmula f(x), ó mediante una tabla. La función de densidad cumple: 1. - f(x)≥ 0 para todo valor que pueda tomar la variable. 2. - La función de distribución de una variable discreta X es la función que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.

Ejemplo: Variable aleatoria de Poisson Dado un suceso que aparece de esporádicamente, en un intervalo de tiempo o un espacio dado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya dado x veces? : número medio o esperado de ocurrencias

DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a, b) es igual al área encerrada por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple: 1. - f(x)≥ 0 para todo valor de x 2. -

En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como: f(x) a b

IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

¿De dónde procede esta idea? ¿Tiene algún sentido intuitivo?

Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes. % 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 40 20 155 160 165 170 175 180 185 Peso

% 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 Prob. =%=Area 40 20 1 150 155 160 165 170 175 180 185 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Peso

% 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 Prob. =%=Area 40 20 155 160 165 170 175 180 185 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Peso

% 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 Prob. =%=Area 40 20 155 160 165 170 175 180 185 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Peso

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? % Prob. (muestra) 40 POBLACION 20 Muestra 150 155 160 165 170 175 180 185 Peso Conocida (DATOS) Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.

La función de distribución cumple: 1. La derivada de la función de distribución, es la función de densidad. 2. Se verifica:

Media, varianza, desv. típica de una v. a. MEDIA: Variable discreta: Variable continua:

VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

DESVIACION TIPICA:

4. Principales distribuciones continuas. A. Distribución normal: N(µ, σ) Previamente: curva normal N(µ, σ) o campana de Gauss

- μ: media poblacional - σ: desviación típica poblacional. - Simétrica respecto a x = μ - Máximo en x = μ - Normal tipificada: si X=N(μ, σ), entonces Z=(X- μ)/σ es una normal N(0, 1).

B. Distribución exponencial: Exp(λ) µ=1/λ σ=1/λ - Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco nómicas, llamadas telefónicas, etc. ) o el tamaño (yacimientos, etc. )

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: donde y densidad es: son variables aleatorias independientes para i = 1, 2, …, n. La gráfica de su función de

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Media: n Varianza: 2 n Es importante en inferencia estadística

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Es SIMETRICA respecto al eje Y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadística

E. Distribución F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Chi-cuadrado con n 1 grados de libertad Chi-cuadrado con n 2 grados de libertad