1 1 Nj vshtrim mbi konceptet e probabilitetit

1 -1 Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit Qëllimet Pas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të: FDefinoni probabilitetin. FPërshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të probabilitetit dhe të bëni dallimet në mes të tyre. FKuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja. FNjihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve. FDefinoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i përbashkët. FNjihni disa nga rregullat e llogaritjes së rasteve të volitshme (permutacionet, variacionet, kombinacionet) Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -3 Definicionet • Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe 1. • Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) i disa aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve, gjegjësisht një proces që shpien deri te paraqitja e një (dhe vetëm një) nga disa vrojtime të mundshme. • Rezultati: Rezultati i pjesshëm i një eksperimenti. • Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumë rezultateve të një eksperimenti. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha ngjarjeve të mundshme p. sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6): P. sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52): Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Ngjarjet • Ngjarje e thjeshtë · Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një karakteristikë. · P. sh. , Karta e kuqe nga letrat e bixhozit. • Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A) · Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A · P. sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit. • Ngjarje e përbashkët · Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që paraqiten njëkohësisht. · P. sh. , Një As që është gjithashtu i kuq. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Probabiliteti • Probabiliteti është një matës numerik 1 për gjasat se një ngjarje do të ndodhë. E sigurt • Probabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në 0 ≤mes P(A)të≤ 01 dhe Për 1. çfarëdo ngjarje A 0. 5 • Shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/ duhet të jetë i barabartë me 1. Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht përjashtuese dhe kolektivisht shteruese Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës 0 E pamundur © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit • Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një ngjarje të pasigurt: 1. a priori probabiliteti klasik 2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative 3. Probabiliteti subjektiv Një vlerësim apo opinion individual rreth probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -4 Qasjet e probabilitetit • Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta. • Sipas pikëpamjes klasike , Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -5 SHEMBULL 1 • Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy monedhave metalike në të njejtën kohë. • Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS} • Marrim në konsiderim ngjarjen për një N. • Probabiliteti për me ra numri =2/4 = 1/2. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -6 Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme • Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të njejtën kohë. • Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të papajtueshme. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -7 Ngjarjet e domosdoshme • Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment. • Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera shuma e probabiliteve është = 1 (0. 25 + 0. 25). Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -8 Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik • Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën: Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -9 SHEMBULL 2 • Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer 186 studentë me A nga 1200 studentë sa ajo i ka mësuar. Sa është probabiliteti që studenti në departamentin e saj në këtë semestër do të marrë A? • Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti për një A është • P(A)= 186/1200=0. 155 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -10 Probabiliteti subjektiv • Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të vecanta. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

… probabiliteti subjektiv, vazhdimi • Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon: - Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin e ardhshëm në ligën e kampionëve. - Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj Irwin/Mc. Graw-Hill © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Disa rregulla të probabilitetit Rregullat e probabilitetit Rregullat aditive (të mbledhjes) Rregulla e veçantë aditive Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës Rregulla e plotësuese komplementare Rregullat e multiplikatorit (e shumëzimit) Rregulla e përgjithshme aditive Rregulla e veçantë e multiplikatorit Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -11 Rregullat bazë të probabilitetit • Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera. • Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. P(A ose B) = P(A) + P(B) Dr. Lutfi Istrefi Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -12 Shembull 3 • Aeroporti X së voni ka marrë informata për fluturimet nga Prishtina në Gjenevë Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -13 Shembull 3 vazhdim • Nëse A është ngjarja se fluturimi arrin herët, atëherë probabiliteti P(A) = 100/1000 = 0. 1 • Nëse B është ngjarja se fluturimi do të arrijë vonë , atëherë P(B) = 75/1000 = 0. 075 • Probabiliteti se aeroplani do të vijë herët ose do të arrijë vonë është; P(A ose B) = P(A) + P(B) = 0. 1 + 0. 075 Dr. Lutfi Istrefi Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës =0. 175 © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -14 Rregulla plotësuese/komplementare • Rregulla plotësuese/komplementare /përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga 1. • Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose P(A) = 1 -P(~A). Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -15 Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim • Diagrami i Ven-it (J. Venn 1834 -1888) ilustron rregullën komplementare që do të duket si në vijim: A Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës ~A © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -16 SHEMBULL 4 • I rikthehemi SHEMBULLIT 3. • Nëse C është ngjarja se fluturimi do të arrijë në kohë, atëherë, P(C) = 800/1000 = 0. 8. • Nëse D është ngjarja se flutruimi është shtyrë, atëherë, P(D) = 25/1000 = 0. 025. • Shfrytëzoni rregullën komplementare për të treguar se probabiliteti i një fluturimi të hershëm (A) ose të vonshëm (B) është Dr. Lutfi Istrefi Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës 0. 175. © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -17 SHEMBULL 4 vazhdim • P(A ose B) = 1 - P(C ose D) = 1 -[0. 8 +. 025] =0. 175 C 0. 8 D 0. 025 ~(C ose D) = (A ose B) 0. 175 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -18 Rregulla aditive e përgjithshme • Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprkisht përjashtuese , atëherë , P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese: • P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B) Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -19 Rregulla aditive e përgjithshme • Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull: B A dhe B A Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -20 SHEMBULL 5 • Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë stereo , 180 kanë thënë se kanë TV, dhe 100 kanë thënë se i kanë të dyja: Stereo 320 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës Bashkë 100 TV 180 © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -21 SHEMBULL 5 vazhdim • Nëse studenti zgjedhet rastësisht , sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm stereo, vetëm TV dhe të dyja stereo dhe TV? • P(St) = 320/500 = 0. 64. • P(Tv) = 180/500 = 0. 36. • P(St dhe Tv) = 100/500 =0. 20. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -22 SHEMBULL 5 vazhdim • Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu stereo ose Tv në shtëpinë e tij? • P(St ose Tv) = P(St) + P(Tv) - P(S dhe T) = 0. 64 +0. 35 - 0. 20 =0. 79. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Shembull • Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është 0. 60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0. 70. Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0. 50. Sa është probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim. • P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0. 60+0. 70 -0. 50 =0. 8. Irwin/Mc. Graw-Hill © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -23 Probabiliteti i përbashkët • Probabiliteti i përbashkët është probabiliteti që mat gjasat se dy ose më shumë ngjarje do të ndodhin njëkohësisht. Një shembull do të jetë ngjarja që studenti i ka të dyja, stereon dhe Tv në shtëpinë e tij. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -24 Rregulla e veçantë e multiplikatorit • Rregulla e veçantë e multiplikatorit kërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë të pavarura. • Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. • Rregulla e veçantë e multiplikatorit është: Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -25 SHEMBULL 6 • Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0. 5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0. 7. • Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të riten vitin e ardhshëm? • P(A dhe B) = (0. 5)(0. 7) = 0. 35. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -27 Probabiliteti i kushtëzuar • Probabiliteti i kushtëzuar është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të veçantë duke ditur që një ngjarje tjetër ka ndodhur. • Vërejtje: Probabiliteti i ngjarjes A duke ditur që do të ndodhë ngjarja B shënohet me P(A|B). Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -28 Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit • Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit përdoret për të gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B, probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Shembull • Në një anketë, punëtorët e kompanisë , X’’, në pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njëjtë apo më të mirë se kjo që keni tani, a do të dëshironit ta ndërronit? • Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të përvojës së tyre në atë kompani sipas tabelës vijuese: Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës Përvoja -> Me pak 1 -5 vite se një vit 6 -10 vite Më shumë se 10 vite Totali Do të qëndrojnë 10 30 5 75 120 Nuk do të qëndrojnë 25 15 10 30 80 Totali 35 45 15 105 200 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

• Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë kompani dhe që ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ? Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Zgjidhja • P(A) - do të qëndroj në kompani • P(B) ka përvojë pune më se 10 vjet • P(B|A) – qëndron në kompani dhe ka përvoj më se 10 vite P(A dhe B)= P(A) x P(B|A) = 120/200 x 75/120 = 9000/24000 = 0. 375 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës Dr. Lutfi Istrefi © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Shembull q Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8 meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të kompanisë. a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij komiteti të jenë femra? b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë meshkuj. c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e barabartë me 1? Shpjego: Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Zgjidhje • a) 0. 002 • b) 0. 14 Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

5 -37 Disa parime të llogaritjes • Rregullat përllogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme: • Rregulla 1. • Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m x n mënyra për t’i bërë të dyja. • Shembull 10: Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa kombinime të ndryshme të mundshme janë: • Përgjigje: • 3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Rregullat e llogaritjes (vazhdim) • Rregulla 2 · Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente sipas rregullit është: n! = (n)(n – 1)…(1) · Shembull: – Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj? Përgjigje: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme. Irwin/Mc. Graw-Hill © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Rregullat e llogaritjes • Rregulla 3. • Permutacionet: çdo regullim i X elementeve i zgjedhur nga n elementet e mundshme. (vazhdim) · Shembull: – Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të porositet dreka? Përgjigje: . Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e rëndësishme te permutacionet. Irwin/Mc. Graw-Hill © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

Rregullat e llogaritjes (vazhdim • Rregulla 4 • Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes së x elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar renditjen · Shembull: – Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe tri duhet të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes. – Përgjigje: Irwin/Mc. Graw-Hill © The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. , 1999

5 -40 SHEMBULL 11 • Trajneri X duhet të zgjedhë pesë lojtarë në mes të 12 sa i ka në ekip për të formuar formacionin fillestar. Sa grupe të ndryshme janë të mundshme? 12 C 5 = (12!)/[5!(12 -5)!] =792 • Supozojmë se Trajneri X duhet ti rangoj ata kësisoj: 12 P 5 = (12!)/(12 -5)! = 95, 040. Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999

Konceptet kyçe q. Probabiliteti q. Eksperimenti q. Rezultati q. Ngjarja q. Hapësira e mostrës q. Probabiliteti apriori q. Probabiliteti aposteriori q. Probabiliteti subjektiv q. Ngjarje e thjeshtë q. Ngjarje komplementare q. Ngjarjet e papajtueshme Irwin/Mc. Graw-Hill Bazat e Statistikës q. Ngjarjet e domosdoshme q. Ngjarjet e kushtëzuara q. Regulla aditive e thjeshte q. Rregulla aditive e përgjithshme q. Rregulla komplementare q. Rregulla e multiplikatorit q. Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit q. Permuatacionet q. Kombinacionet q. Variacionet © The Mc. Graw-Hill Companies, Dr. Lutfi Istrefi Inc. , 1999