1 1 Definicin y notacin de conjuntos OBJETIVO

1. 1 Definición y notación de conjuntos. OBJETIVO Definir el concepto de un conjunto y sus elementos, describiendo los diferentes tipos, para poder realizar operaciones. ITESM-Preparatoria Zona Esmeralda Semestre Enero – Mayo 2015 Prof. Q. F. B. Mary Luz Noguera

1. 1 Definición y notación de conjuntos La mente humana posee una inclinación natural a reunir o agrupar. Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas como cinco elementos separados, las personas tendemos a verlas como un grupo de estrellas. Nuestra mente trata de encontrar orden y patrones. En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de conjunto

Conjunto. Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualquier cosa, a saber: números, personas, letras, animales, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas.

Notación de conjuntos Usaremos letras mayúsculas para presentar los conjuntos e incluiremos sus elementos dentro de llaves, separándolas por comas. A los elementos que forman el conjunto los denotaremos con letras minúsculas. A = { a, e, i, o, u } A es el conjunto de las vocales y a es un elemento del conjunto A

Conjuntos: 1) por enumeración (extensión). 2) por comprensión. 1) Un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos. A = { a, e, i, o, u } enumeramos totalmente a los elementos del conjunto. 2) Un conjunto está descrito por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa. B = {Estados de la República Mexicana} B es el conjunto de todos los estados de la República Mexicana y podemos decir que Yucatán es un elemento de B damos una frase que describe a los elementos de éste conjunto.

Identifica los siguientes conjunto: por enumeración o por comprensión A = { } enumeramos totalmente a los elementos del conjunto. B = {Manzanas producidas en México } damos una frase que describe a los elementos del conjunto. COMPRENCION C = { José, Bertha, Rafael, María } D = {Países Latinoamericanos } COMPRENCION

Construcción de conjuntos Símbolo Є significa pertenecer Para decir que un elemento está o no en un conjunto dado usaremos el símbolo Є y Є respectivamente. X Є A significa que X pertenece al conjunto A X Є A significa que X no pertenece al conjunto A conjunto

Expresar los siguientes conjuntos en su forma de enumeración. x/x significa en el lenguaje algebraico a) b) c) x tal que x A = {x/x es un niño héroe} B = { x/x es un par positivo menor que 20} C = {x/x es un mes del año} Expresar los siguientes conjuntos en su forma de comprensión. a) b) c) A = {1, 3, 5, 7, 9 } B = {Septiembre, octubre, noviembre, diciembre} C = {México, Canadá }

Conjuntos especiales Conjunto universo Conjunto vacio Conjunto unitario Conjuntos iguales Conjuntos ajenos Conjuntos finitos e infinitos.

Conjunto universo Llamaremos universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos. Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así los elementos del universo que si poseen los atributos requeridos forman el conjunto. La letra U representa el universo.

Conjunto vacio Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo Si A = { personas vivientes mayores de 200 años }, A es vacio según las estadísticas conocidas. Sea B = { personas que vuelan } Sea C = { x/x es rojo y verde a la vez } Sea D = { x/x es un numero racional e irracional } Se denota así: Ø

Conjunto unitario Es todo conjunto que está formado por un solo y único elemento. A={5} B = { números pares entre 6 y 10} C = { la capital de Perú}

Conjuntos iguales Tienen los mismos elementos

Conjuntos ajenos o disjuntos Son aquellos que no tienen nada en común. Por ejemplo, el conjunto de los números pares y el conjunto de los números nones son ajenos.

Conjuntos finitos e infinitos Es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, distintos es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito Conjunto finito Conjunto infinito

Q. F. B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 16

Subconjunto Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B, si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son también de B A es subconjunto de B Ac. B A no es subconjunto de B A ¢ B Ej. A = { 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Es claro que A c B. Toda x que pertenece a A también pertenece a B

Subconjunto propio Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B si solo si: AB

Subconjunto propio B c A A c B Nota:

Correspondencia biunivoca Se da si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y solo un elemento del conjunto B. Si A = { a, e, i, o, u } B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Hay una correspondencia biunívoca entre ellos

Cardinalidad de un conjunto Número de elementos de un conjunto # = 7 # = 3 Otros ejemplos Si A = { 2 } Si B = { a, b, c } Si C = { x/x son los meses del año } Ø # = 1 # = 3 # = 12 # = 0 Se denota # # = 3

Ejercicios Establecer una correspondencia biunívoca cuando sea posible entre los siguientes pares de conjuntos A = {x/x es un número múltiplo de 5} B = {x/x es un múltiplo de 3 } A = {x/x es un hombre } B = {x/x es una mujer } A = {maestros del Tec. de Monterrey } B = {alumnos del Tec. De Monterrey } A = { números naturales } B = {números naturales terminados en cero }