07 Modul ke Fakultas EKONOMI BISNIS Program Studi

07 Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS Program Studi Manajemen dan Akuntansi SESI 6 MATEMATIKA BISNIS Sesi 7 ini akan membahas Penerapan Teori Persamaan Non Linier dan penerapnnya. Mahasiswa diharapkan dapat Mengerti dan Memahami Penerapan Persamaan Non Linier pada Matematika Ekonomi Viciwati STl MSi.

PERSAMAAN NON LINIER DAN PENERAPAN Matematika Bisnis Sesi 7

Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antarvariabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model non linear, namun tidak sedikit pula yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non linear. Bahkan sebagian dari model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-hubungan yang non linear, merupakan linearisasi dari model non linear

SILABI • Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran - Elips - Hiperbola - Parabola

1. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umumnya adalah : y = a + bx + cx 2 ; c 0

a. Identifikasi persamaan kuadrat Bentuk lebih umum persamaan kuadrat ialah: : ax 2 + pxy + by 2 + cx + dy + e = 0 (setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan nol) apabila p = 0 maka persamaan menjadi : ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0

Fungsi Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya Dua Bentuk garisnya melengkung dan hanya punya satu titik puncak

• Bentuk Umum : f(x) = ax 2 + bx + c atau Y = ax 2 + bx + c a≠ 0 Grafik a= + Y x Titik puncak (h, k) h=-b 2 a k = b 2 – 4 ac = D -4 a - 4 a a= Y x

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat 1. Titik potong dengan sumbu koordinat a. Memotong sumbu x b. Memotong sumbu y 2. Nilai balik x = - b 2 a Y=D -4 a 3. Koordinat titik balik -b , D 2 a -4 a 4. Jenis titik balik a>0 a<0 y =0 ax 2 + bx + c = 0 D = b 2 - 4 ac ≥ 0 x=0 y=c (0, c) kurva terbuka keatas minimum kurva tebuka ke bawah maksimum

Mencari Grafik Fungsi Kuadrat Cara : - Cari titik puncak Cari nilai x dan y lainnya dengtan cara memasukkan nilai x pada persamaan untuk memperoleh nilai y, atau dapat juga mencari titik potong sumbu x dan y Contoh : Y = x 2 – 2 x – 3 Titik puncak : h=-b 2 a k= D - 4 a = - (-2) = 1 2. 1 = b 2 – 4 ac - 4 a = (-2)2 – (4. 1. -3) - 4. 1 = - 16 = -4 -4 Jadi titik puncak p (h, k) = ( 1, -4) Titik potong sumbu x y=0 2 X -2 x -3 = 0 (x-3) (x+1) = 0 x -3 = 0 x 1 = 3 Jadi (3, 0) x+1 =0 x 2 = -1 Jadi ( -1, 0)

Titik potong sumbu y x = 0 X 2 - 2 x - 3 = y 02 - 2. 0 - 3 = y Y=-3 x -2 0 1 2 4 y 5 -3 -4 -3 5 jadi (0, - 3) (4, 5) (-2, 5) (-1, 0) (0, -3) (1, - 4)

Contoh soal Cari titik puncak, titik potong sumbu x dan y serta gambar grafiknya • Y = 2 + 3 x + x 2 • • • y = 2 + 5 x + 2 x 2 y = 2 x 2 + 8 x + 1 Y = 3 x 2 + 2 x -7 Y = x 2 – 15 x -7 Y = 5 x 2 + 3 x - 1 Y = X 2 – 23 x -8

Gambar Potongan Kerucut Lingkaran Parabola Elips Hiperbola

Identifikasi Persamaan Kuadrat Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 • Jika B = 0 dan A = C ≠ 0 lingkaran • Jika B 2 – 4 AC < 0 Elips • Jika B 2 – 4 AC > 0 Hiperbola • Jika B 2 – 4 AC = 0 Parabola Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 • Jika A = C ≠ 0 lingkaran • Jika A ≠ C, tanda sama elips • Jika A dan C berlawanan tanda Hiperbola • Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya parabola

Lingkaran • Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x, y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. • Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila pusat lingkaran berimpit dengan asal 0. Berlaku hukum Pythagoras x 2 + y 2 = r 2

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus lingkaran, yaitu : (x – h)2 + (y – k)2 = r 2

Lingkaran © y Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h, k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : P(x, y) y r k M(h, k) (x – h)2 + (y – k)2 = r 2 x (x – h), y (y – k) P(x, y) r y x h x x Dapat ditulis x 2 + y 2 - 2 hx - 2 ky + (h 2+k 2+r 2)=0 h dan k bisa positif / negatif persamaan lingkaran : Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 A = C dan B = 0

Elips • Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang jumlah jaraknya hingga dua titik tertentu, yang dinamakan fokus F dan F’ adalah tetap. • Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu y tegak lurus FF’. • Misal 0 F = 0 F’ = c, PF + PF’ = 2 a dan a 2 – c 2 = b 2

Bentuk umum persamaan elips : ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus elips, yaitu : (x - h)2 (y – k)2 ----- + ----- = 1 r 12 r 22

Elips © Y b. B A’ F’ -c r’ P (x, y) y x 0 B r F A c a X

Elips • Adapun AA’ adalah sumbu mayor dan BB’ adalah sumbu minor elips. Bila elips dipindahkan sejajar sehingga pusatnya tidak lagi di 0. titik M (h, k) maka : • Bentuk umum persamaan elips : Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Parabola • Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris • Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y. • Dengan hukum pythagoras : x 2 + (y – x)2 = (y + x)2 x 2 – 2 yp = 2 yp x 2 = 4 py y = ¼ px 2 = ax 2

Parabola Y F y+p 0 p p T Bila parabola dipindahan sejajar sehingga puncaknya tidak lagi 0 tetapi di M(h, k) maka: M(h, k) P(x, y) y–p X d (x - h)2 = 4 p(y - k) x 2 - 2 hx - 4 py + (h 2 + 4 pk) = 0 Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 Cx 2 + Dx + Ey + F = 0

Hiperbola • Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

Bentuk umum persamaan hiperbola : ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus hiperbola : (x - i)2 ----- m 2 (y - j)2 ----- n 2 (y – j)2 ----- = 1 atau n 2 (x – i)2 ----- = 1 m 2

Untuk menentukan asimtot gunakan rumus : x-i y–j ----- = ----- atau m n y–j x-i ----- = ----n m

Hiperbola y y asimtot (i, j) asimtot Sumbu lintang 0 x Rumus Umum : Ax 2 – Cy 2 + Dx + Ey + F =0 0 Sumbu lintang x

Fungsi Kubik Bentuk umum : y = a + bx + cx 2 + dx 3 d 0

Penerapan Ekonomi persamaan Non Linier a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs

P Pe 0 Qs E Qd : jumlah permintaan Qs : Jumlah penawaran E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan Qe : jumlah keseimbangan Qd Qe Q

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak atau subsidi yang menyebabkan harga jual yang ditawarkan berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

b. Fungsi Biaya Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

Biaya tetap Biaya variabel Biaya total : FC = k (k ; konstanta) : VC = f(Q). : C = FC + VC = k + f (Q) = c (Q). FC Biaya tetap rata-rata : AFC = ---Q VC Biaya variabel rata-rata : AVC = ---Q Biaya rata-rata : AC = C/Q = AFC + AVC Biaya Marjinal : ∆C/∆ Q

Bentuk non linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik. Andaikan C = a. Q 2 – b. Q + c maka : AC = C/Q = a. Q – b + c/Q AVC = VC/Q = a. Q – b AFC = FC/Q = c/Q

35

Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear; sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a, C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

Biaya total merupakan fungsi kubik Andaikan C = a. Q 3 – b. Q 2 + c. Q + d Maka : AC = c/Q = a. Q 2 – b. Q + c + d/Q AVC = VC/Q = a. Q 2 – b. Q + c AFC = FC/Q = d/Q Biaya total berfungsi kubik seperti di atas selalu membuahkan AC dan AVC berbentuk parabola terbuka keatas. Sedangkan AFC tetap asimtotik terhadap sumbu C dan sumbu Q, sebab FC berupa konstanta yang kurvanya sejajar sumbu Q. .

c. Fungsi Penerimaan Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar monopoli. Sedangkan fungsi penerimaan total yang linear merupakan fungsi penerimaan yang dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar persaingan sempurna.

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marjinal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.

Penerimaan total : R = Q x P = f (Q) R Penerimaan rata-rata : AR = ---Q R Penerimaan Marjinal : MR = ---- Q Mengingat R = Q x P atau P = R/Q, sedangkan AR = R/Q, berarti penerimaan rata-rata (AR) tak lain adalah harga barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR adalah juga kurva permintaan dalam bentuk P = g (Q).

Terima Kasih Viciwati, STL, MSi.